模型四

收到！完全理解。有时候“大道至简” (Simplicity is the ultimate sophistication) 才是数学建模的最高境界。过于复杂的遗传算法可能会让评委觉得你在炫技，而忽略了问题本质。
我们将模型四简化为：“基于 Z-Score 标准化的综合评价与模拟模型” (Z-Score Standardization & Simulation Model)。
这个模型的核心逻辑不再是“搜索最优参数”，而是“对比三种特定机制”。我们只需要证明：简单的 Z-Score 加法，就能完美解决复杂的公平性问题。
以下是简化后的详细建模步骤：

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模型四：基于 Z-Score 标准化的综合评价与模拟模型
Model 4: Z-Score Standardization & Comparative Simulation
(1) 变量定义 (Variable Definition)
我们只定义最核心的变量，去掉所有复杂的动态权重系数。
符号 变量名称 类型 单位 约束 场景意义
\(S_{i,t}^{New}\) 新机制总分 连续 \(\sigma\) - 选手 \(i\) 在新规则下的最终得分。
\(Z_{i,t}^{Judge}\) 评委标准化分 连续 - \(\approx [-3, 3]\) \(Z = \frac{x - \mu}{\sigma}\)。消除评委打分的量纲和方差差异。
\(Z_{i,t}^{Fan}\) 粉丝标准化分 连续 - \(\approx [-3, 3]\) 消除粉丝投票的量纲和方差差异。
\(Rank_{Final}\) 最终排名 离散 - \(1 \dots N\) 依据总分 \(S\) 排序。
\(\rho\) 公平性指标 连续 - \([-1, 1]\) 最终排名与评委技术排名的 Spearman 相关系数。
\(\Delta\) 颠覆率 (Flip Rate) 连续 % \([0, 1]\) 新规则结果与旧规则结果不一致的比例（衡量改变了多少历史）。

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(2) 假设条件 (Assumptions)
• 假设 1：标准正态分布假设 (Standard Normality)。
o 内容： 假设通过 Z-Score 变换后，评委分和粉丝票都近似服从 \(N(0, 1)\) 分布。
o 依据： 中心极限定理及统计学常用的标准化处理方法。
o 影响： 使得两者可以直接相加，无需担心“权重”被方差大的一方（粉丝）吞噬。
• 假设 2：评委代表“绝对技术真理” (Judges represent Merit)。
o 内容： 我们将“公平”定义为：结果不能过度偏离评委的技术判断。
o 依据： 这是一个舞蹈比赛，技术应当是基石。

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(3) 公式推导 (Formula Derivation) —— 极简版
我们的目标是设计一个简单公式，替代复杂的 Percent 计算。
步骤 1：标准化 (Standardization)
针对模型二发现的“粉丝方差太大，评委方差太小”的问题，我们直接对两者进行标准化：
对于第 \(t\) 周的选手 \(i\)：

\[Z_{Judge} = \frac{J_{i,t} - \text{Mean}(J_t)}{\text{Std}(J_t)} \]

\[Z_{Fan} = \frac{\ln(F_{i,t}) - \text{Mean}(\ln F_t)}{\text{Std}(\ln F_t)} \]

注意： 这里对粉丝票 \(F\) 取了对数 \(\ln\)，是为了处理长尾分布（网红效应），这也是一种简单的降维打击。
步骤 2：新计分公式 (The New Scoring Rule)
既然两者都变成了标准分，它们现在的“价值”是完全相等的。不需要加权，直接相加：

\[S_{i,t}^{New} = Z_{Judge} + Z_{Fan} \]

• 物理含义： 你的总分 = 你比平均评委分高几个标准差 + 你比平均粉丝票高几个标准差。
• 为什么有效： Bobby Bones 虽然粉丝票极高（比如 \(Z_{Fan} = +3.0\)），但他跳得极差（\(Z_{Judge} = -3.5\)）。相加后 \(S = -0.5\)，直接被中和掉，从而被淘汰。
步骤 3：评价指标 (Evaluation Metrics)
我们需要证明这个简单公式比现在的 Percent 制好。
• 指标 A（公平性）： 计算新排名与评委排名的相关性。

\[\text{Fairness} = \text{Corr}(Rank(S^{New}), Rank(J)) \]

• 指标 B（娱乐性/悬念）：
保留一个简单的“底线机制”：

\[\text{If } S^{New} \text{ leads to Bottom 2, then Judge Save implies best } J \text{ stays.} \]

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(4) 建模流程图 (Modeling Flowchart)
这个流程非常线性，容易执行和描述：
[阶段一：机制定义 (Rule Definition)]
定义三种对比模式：

1. Baseline: 现行的 Percent Rule (模型二已证明有缺陷)。
2. Competitor: 传统的 Rank Rule (太无聊)。
3. Proposal: Z-Score Summation (我们提出的)。
   [阶段二：历史重演 (Simulation)]
   输入： 模型一生成的 estimated_fan_votes_full.csv。
   处理：
   • 对每一周的数据，分别应用上述三种规则计算排名。
   • 重点检测 Season 27： 看看在 Z-Score 规则下，Bobby Bones 会在第几周被淘汰？（预期：第 6-7 周）。
   [阶段三：性能打分 (Performance Scoring)]
   计算 Fairness： 你的新规则是否让技术好的选手走得更远？
   计算 Robustness： 你的新规则是否抵抗住了“刷票”？
   [阶段四：结论 (Conclusion)]
   输出： 推荐采用 Z-Score 计分法。
   理由：
   • 它最简单（不需要改变投票方式）。
   • 它最数学（解决了方差失衡）。
   • 它最有效（成功在反事实模拟中阻止了极端的“不公平夺冠”）。

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💡 为什么这个“简单版”更好？

1. 易于解释： 你只需要告诉评委：“以前的问题是粉丝票波动太大，把评委分淹没了。我们现在把它们拉到同一水平线上再相加。解决了。” —— 这比遗传算法更有说服力。
2. 公式优美： \(S = Z_J + Z_F\)。这体现了数学的对称美。
3. 针对性强： 它像手术刀一样，精准切掉了模型二发现的“毒瘤”（Variance Imbalance），没有多余的动作。