模型一
这是一个非常专业且高难度的建模任务。针对 Q1（估算粉丝投票） 和 Q2（不确定性分析），我们将构建一个 “基于截断狄利克雷分布的贝叶斯 MCMC 逆向推断模型” (Bayesian Inverse Inference via MCMC with Truncated Dirichlet Priors)。
这个模型不仅能算出“一种可能的票数”，还能算出“所有可能票数的概率分布”，直接回应题目关于“不确定性 (Certainty)”的核心疑问，是极具竞争力的冲奖模型。
以下是完整的建模步骤解析：
- 变量定义 (Variable Definition)
我们将粉丝投票建模为“比例”而非绝对票数（因为总票数未知且不影响比例制下的结果），利用统计学中的狄利克雷分布来描述这种“多选一”的概率结构。
符号 变量名称 类型 单位 约束范围 场景意义与说明 属性
\(i, t\) 选手索引，周次索引 离散 - \(i \in \{1..N_t\}\) 第 \(t\) 周的第 \(i\) 位选手 索引
\(J_{i,t}\) 评委原始得分 离散 分 \([0, 30/40]\) 题目给定数据 (Judge Points) 已知参数
\(R^J_{i,t}\) 评委排名 离散 位 \(\{1..N_t\}\) 根据 \(J_{i,t}\) 排序，分数越高排名越小（1为最好） 中间变量
\(\boldsymbol{\theta}_t\) 粉丝投票比例向量 连续 % \(\sum \theta_{i,t} = 1\) 核心决策变量 (待估参数)。即选手 \(i\) 获得粉丝票仓的比例。 目标变量
\(R^F_{i,t}\) 粉丝排名 离散 位 \(\{1..N_t\}\) 根据 \(\boldsymbol{\theta}_t\) 排序，比例越高排名越小 中间变量
\(E_{obs,t}\) 观测到的淘汰者ID 离散 ID - 历史数据中实际被淘汰的人 已知参数
\(M_t\) 计分规则模式 0-1 - \(\{Rank, \%\}\) 指示当周是排名制还是百分比制 已知条件
\(\mathbb{I}(\cdot)\) 规则一致性指示器 0-1 - \(\{0, 1\}\) 若模拟结果与 \(E_{obs,t}\) 一致则为1，否则为0 似然函数值
\(\alpha\) 狄利克雷先验参数 连续 - \(>0\) 控制粉丝投票分布的稀疏度。\(\alpha<1\) 表示马太效应（票集中），\(\alpha=1\) 表示均匀。 假设参数
- 假设条件 (Assumptions)
我们需要通过假设将复杂的社会学问题转化为可计算的数学问题。
• 假设 1：粉丝投票比例服从狄利克雷分布 (Dirichlet Distribution)。
o 依据： 每一周的总票仓是固定的（归一化为1），且投票是多项分布的连续形式。狄利克雷分布是单纯形（Simplex）上最自然的概率分布。
o 对模型影响： 使得我们可以用参数 \(\boldsymbol{\alpha}\) 来控制对“明星人气差异”的先验认知。若无信息，设 \(\boldsymbol{\alpha}=(1,1...1)\) 为均匀分布。
• 假设 2：评委分数与粉丝投票存在弱正相关性 (Weak Correlation Prior)。
o 依据： 跳得好的选手通常也会获得更多观众认可，完全负相关极少见。
o 对模型影响： 在构建先验分布时，不使用完全均匀分布，而是将先验中心稍稍偏向评委高分选手。这能加速 MCMC 收敛，避免在完全不可能的解空间（如满分选手得0票）浪费算力。
• 假设 3：淘汰结果是确定性规则的产物 (Deterministic Rule Application)。
o 依据： 忽略计票失误或内幕操作，假设题目给出的淘汰结果严格遵循数学规则。
o 对模型影响： 似然函数 \(L(Data|\theta)\) 变为一个指示函数（Indicator Function），即解空间被严格切割为“可行域”和“不可行域”。
- 公式推导 (Formula Derivation)
本模型的逻辑是：后验概率 \(\propto\) 似然函数 \(\times\) 先验概率。
步骤 1：构建粉丝投票的先验分布 (Prior)
我们假设第 \(t\) 周所有选手的得票比例向量 \(\boldsymbol{\theta}_t = [\theta_{1,t}, \dots, \theta_{N,t}]\) 服从狄利克雷分布：
其中 \(\sum \theta_{i,t} = 1\)，\(\alpha_i\) 为先验强度参数。
步骤 2：构建“规则黑盒”与似然函数 (Likelihood)
我们需要一个函数来模拟 DWTS 的淘汰逻辑。定义总分计算函数 \(S(\cdot)\)：
情形 A：Rank 排名制 (Seasons 1-2)
淘汰规则：总排名数值最大者淘汰（若并列，通常查阅规则看分数低者，此处简化为集合）：
情形 B：Percent 百分比制 (Seasons 3-27)
淘汰规则：总分最低者淘汰：
似然函数定义：
由于我们知道确切的淘汰结果 \(E_{obs}\)，似然函数退化为示性函数：
注：这意味着只要模拟出来的淘汰者和历史一样，这个 \(\boldsymbol{\theta}_t\) 就是一个“可行解”。
步骤 3：贝叶斯后验概率 (Posterior)
步骤 4：MCMC 采样算法 (Metropolis-Hastings)
由于后验分布被复杂的排序逻辑截断，无法写出解析解，我们使用 MH 算法进行采样：
- 初始化：随机生成一个满足 \(\sum \theta = 1\) 的向量 \(\boldsymbol{\theta}^{(0)}\)。
- 提议 (Propose)：在当前点 \(\boldsymbol{\theta}^{(k)}\) 附近添加扰动生成 \(\boldsymbol{\theta}^*\)（需重新归一化）。
- 验证 (Check)：
o 计算 \(E_{sim}(\boldsymbol{\theta}^*)\)。
o 若 \(E_{sim} \neq E_{obs}\)（模拟淘汰了错误的人），则接受概率 \(\alpha_{acc} = 0\)（直接拒绝）。
o 若 \(E_{sim} = E_{obs}\)（符合历史），则根据先验密度比率计算接受概率 \(\alpha_{acc} = \min(1, \frac{P(\boldsymbol{\theta}^*)}{P(\boldsymbol{\theta}^{(k)})})\)。 - 接受/拒绝：生成随机数 \(u \sim U(0,1)\)，若 \(u < \alpha_{acc}\)，则 \(\boldsymbol{\theta}^{(k+1)} = \boldsymbol{\theta}^*\)，否则保持不变。
- 循环：重复 10,000 次，记录下的所有 \(\boldsymbol{\theta}\) 即为粉丝投票的近似分布。
基于您提供的 模型一结果图示.docx 文件内容，以及我们之前构建的贝叶斯 MCMC 模型逻辑，以下是针对模型一（贝叶斯逆向推断模型）的详细结论总结。
这段总结是为您论文的 "Results & Discussion"（结果与讨论） 或 "Conclusion"（结论） 章节准备的，语言风格已经调整为学术论文模式，侧重于从数据图表中提炼出深层的数学与社会学规律。
模型一结论总结：粉丝投票的微观重构与宏观演变
Summary of Findings for Model 1: Micro-Reconstruction and Macro-Evolution of Fan Votes
基于第19赛季（Season 19）的贝叶斯 MCMC 逆向推断实验，本模型成功从历史淘汰结果中反演出了隐变量“粉丝投票分布”。通过对微观（单周）与宏观（全赛季）数据的可视化分析，我们得出以下三个核心结论：
1. “输家确定性”定律 (The Law of Loser's Certainty)
- 对应图表： 图表 1 (小提琴图/Violin Plot)
- 核心发现： 我们发现模型对“淘汰者”和“晋级者”的估算确定性存在显著的非对称性 (Asymmetry)。
- 现象： 被淘汰者（如 Betsey Johnson）的后验分布呈现“窄峰”形态（方差极小），且集中在低值区间（0%-3%）。
- 结论： 在百分比赛制下，一名选手被淘汰是“必然事件”而非“偶然事件”。数学上，只有当粉丝投票极低且无法弥补评委分差距时，淘汰才会发生。因此，模型对“谁是输家”具有极高的置信度。
- 反之： 晋级者的后验分布呈现“宽尾”形态。这意味着只要票数超过“安全阈值”，无论是获得 15% 还是 30% 的选票，结果都是“晋级”。这种“冗余票数” (Surplus Votes) 导致了模型对赢家具体得票率的估算具有较大的不确定性。
2. 票仓的“虹吸效应”与马太效应 (Vote Siphoning & The Matthew Effect)
- 对应图表： 图表 3 (热力图/Heatmap) & 图表 4 (折线图/Trajectory Plot)
- 核心发现： 粉丝投票并非单纯的随机游走，而是表现出强烈的时间惯性 (Temporal Inertia) 和资源再分配特征。
- 强者恒强： 最终冠军（Alfonso Ribeiro）的热力图色块从第一周起就维持深色。这证明了马太效应的存在——高人气选手往往自带稳固的基本盘，而非仅仅依靠比赛后期的爆发。
- 票仓再分配： 随着比赛进行，总人数减少，幸存者的得票率曲线（图表4）呈普遍上升趋势。这揭示了“虹吸机制”：被淘汰选手的释放出的票仓份额，并非均匀流失，而是被留下的头部选手迅速瓜分（Absorbed）。未能有效“虹吸”被淘汰者票仓的选手，往往会在数周后随之被淘汰。
3. 模型的逻辑自洽性与预警能力 (Logical Consistency & Early Warning)
- 对应图表： 图表 2 (堆叠柱状图/Stacked Bar) & 图表 3 (热力图的淡出)
- 核心发现： 模型不仅在数学上自洽，还具备潜在的预测功能。
历史复现： 在所有测试周次中，模型合成的总分（评委分+估算粉丝分）均准确复现了历史淘汰结果（如图2中 Betsey Johnson 总分最低），证明了逆向推断逻辑的有效性 。
- 淘汰预警： 在热力图中，淘汰者在离开的前一周，其颜色通常会经历从“中蓝”到“浅白”的突变。这表明“人气枯竭”先于“实际淘汰”发生。当选手的粉丝得票率跌破某一“生存临界点”时，即便评委给出高分也难以挽回颓势。
给论文写作的建议 (Text Suggestion for Paper)
您可以直接将以下段落翻译或润色后放入论文：
Conclusion on Uncertainty (Q2):
Our Bayesian analysis reveals a fundamental asymmetry in certainty. The model exhibits high confidence (narrow credible intervals) when estimating the votes of eliminated contestants, as their path to elimination is mathematically constrained to a small feasible region of low votes. Conversely, surviving contestants inhabit a larger feasible region, leading to higher uncertainty in their specific vote totals. This suggests that while we can definitively identify why a contestant lost, the magnitude of a winner's popularity remains partially obscured by the threshold-based nature of the competition.
Insight on Fan Dynamics:
The longitudinal analysis confirms the existence of a "Matthew Effect" in DWTS. Contestants like Alfonso Ribeiro (Season 19 Winner) established dominant fan bases early in the season [Figure 6]. Furthermore, the upward trajectory of survivors' vote shares [Figure 4] indicates a dynamic absorption process, where the voting share of eliminated contestants is redistributed to the remaining front-runners, intensifying the competition concentration as the finale approaches.
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