染色 [组合数 容斥]
\(\mathcal{Description}\)
你要给一个\(n\times m\)的矩阵涂色，问有多少种染色方法使得每一行每一列都至少有一个格子被上了色
\(n,m\leq 10^6\)对\(998244353\)取模
\(\mathcal{Solution}\)
直接求不好求，考虑容斥
两个限制条件，如果不想办法去掉一个影响，会十分烦
考虑强制令每一行都是合法的，在这样一个前提下容斥列不合法的情况
考虑不合法的情况，设最后只有\(i\)列有格子被染色了，考虑这样的方案数有多少
这肯定仍然是不好算的，因为我们要求的就是有\(m\)列被染色，所以把状态设为最多有\(i\)列被染色
这个状态看起来就既好求又好容斥了
再重复一遍状态:在每一行都合法的情况下,最多有\(i\)列被染色的方案数
现在我们可以认为只有\(i\)列要管,因为剩下\(m-i\)列都没有被染色
此时一行的染色方案数为\(2^{i}\),不能一个格子都没被染色,所以有\(2^i-1\)种染色方法
因为有\(n\)列，所以有\(\left(2^i-1\right)^n\)种染色方法满足在每一行都合法的情况下,最多有\(i\)列被染色的方案数
然后容斥,全部合法的染色方案=在每一行都合法的情况下 最多\(m\)列被染色的方法-最多\(m-1\)列被染色的方法+最多\(m-2\)列被染色的方法...
根据奇偶决定正负
\(\mathcal{Code}\)
/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年10月25日 星期五 08时16分31秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
using namespace std;
const int maxn = 2000006;
const int mod = 998244353;
int n,m,ans;
int fac[maxn],ifac[maxn],inv[maxn],f[maxn];
void add (int &x,int y){ x=((x+y)%mod+mod)%mod;}
int C (int n,int m){ return 1ll*fac[n]*ifac[n-m]%mod*ifac[m]%mod;}
//{{{init
void init ()
{
fac[0]=ifac[0]=inv[1]=1;
for (int i=2;i<=lim;++i) inv[i]=(-1ll*mod/i*inv[mod%i]%mod+mod)%mod;
for (int i=1;i<=lim;++i){
fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%mod;
}
}
//}}}
//{{{ksm
int ksm (int a,int b)
{
int s=1;
for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
if (b&1) s=1ll*s*a%mod;
return s;
}
//}}}
int main()
{
init();
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;++i) f[i]=1ll*C(m,i)*ksm(ksm(2,i)-1,n)%mod;
for (int i=m;i>=1;--i)
if ((m-i+1)&1) add(ans,f[i]);
else add(ans,-f[i]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
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