T3：树的遍历

特殊性质A （4分）：\(u_i = i\)，\(v_i = i+1\)

由一条链生成的图 \(G\) 也是一条链，因此 \(G\) 的 DFS 树（视为无根树）就是 \(G\) 本身，因此答案为 \(1\)

特殊性质B（12分）：\(u_i = 1\)，\(v_i = i+1\)

此时图 \(G\) 是一个团（任意两个点之间都有边），团的 DFS 树必然是一条链，而一条链能作为 DFS 树当且仅当链的至少一个端点为给定的 \(k\) 个点之一。容斥即可。答案为 \(\frac{(n-1)!}{2} - {}_{n-1-k}C_2 \cdot (n-3)!\)

特殊的 \(k\)（24分）：\(k=1\)

考虑 \(G\) 的结构，设 \(T\) 中与点 \(u\) 相邻的所有边为 \(E_u\)，则 \(E_u\) 在 \(G\) 中是一个团（\(E_u\) 中任意两个点之间都有边）。而 \(\displaystyle \bigcup_{u = 1}^n E_u\) 构成了 \(G\) 的边集。因此 \(G\) 实际上是由 \(n\) 个团构成树结构。
而我们又知道一个团在 DFS 树上对应对应一条链，所以 \(G\) 的 DFS 树对应 \(n\) 条链，\(E_u\) 对应的链有 \(\operatorname{deg}(u)\) 个点。计数，从图 \(G\) 中任意一条边出现，其所在的团 \(u\)（如果有多个，任取一个）对应的链有 \((\operatorname{deg}(u)-1)!\) 种可能。\(G\) 中团构成树结构，因此对于 \(u\) 下方的团（以 \(u\) 为根的树 \(u\) 的儿子对应的团），其链顶节点已经确定（实际上就是和 \(u\) 在同一个团的节点），所以它们对应的链的方案数为 \((\operatorname{deg} - 1)!\)。因此，此时方案数为 \(\displaystyle \prod_{i=1}^n (\operatorname{deg}(i)-1)!\)

特殊的 \(k\)（16分）：\(k=2\)

考虑 \(G\) 中以 \(e_i\) 为根的生成树的特点：将 \(T\) 视为以 \(e_i\) 某个端点为根的有根树，则在团 \(E_u\) 中，连接 \(u\) 与 \(u\) 父节点的边必然作为 \(E_u\) 链的一端。

设 \(T\) 上 \(e_i\) 到 \(e_j\) 的路径上经过的点分别为 \(u_1, u_2, \cdots, u_m\)，其中 \(e_i = (u_1, u_2)\)，\(e_j = (u_{m-1}, u_m)\)。则从 \(e_i\) 开始的 DFS 树 \((u_1, u_2)\) 的 是 \(E_{u_2}\) 链的一端，\((u_2, u_3)\) 是 \(E_{u_3}\) 链的一端，\(\cdots\)，\((u_{m-1}, u_m)\) 是 \(E_{u_m}\) 链的一端。从 \(e_j\) 开始的 \((u_{m-1}, u_m)\) 是 \(E_{m-1}\) 的一端，\(\cdots\)，\((u_1, u_2)\) 是 \(E_{u_1}\) 的一端。因此，对于 \(E_{u_2}, E_{u_3}, \cdots, E_{u_{m-1}}\) 而言，它们链的端点都确定了。因此，从 \(e_i\) 和 \(e_j\) 开始 DFS 可以得到相同的 DFS 树（视为无根树）的方案数为

\[\prod_{i \notin \{ u_2, \cdots, u_{m-1}\}} (deg(i)-1)! \times \prod_{i \in \{ u_2, \cdots, u_{m-1}\}} (deg(i)-2)! \]

总方案 \(k \times \prod (deg(i)-1)!\) 减去即可.