加乘原理与排列组合

加乘原理

（1）分类计数原理：做一件事，完成它有 \(n\) 类互不相交的办法，在第一类办法中有 \(m_1\) 种不同的方法，在第二类办法中有 \(m_2\) 种不同的方法，\(\cdots\)，在第 \(n\) 类办法中 \(m_n\) 种不同的方法。那么完成这件事共有 \(N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n\) 种不同的方法。又称加法原理。

（2）分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 \(n\) 个子步骤，做第一个步骤有 \(m_1\) 种不同的方法，做第二个步骤有 \(m_2\) 种不同的方法，\(\cdots\)，做第 \(n\) 个步骤有 \(m_n\) 种不同的方法。那么完成这件事共有 \(N = m_1 \times m_2 \times \cdots \m_n\) 种不同的方法。又称乘法原理。

例题 1.1

若将 \(1\) 面值 \(10\) 元的人民币全部换成 \(1\) 角、\(2\) 角和 \(5\) 角的人民币，则换法总数为 _______ .

分析：

设有 \(x\) 张 \(1\) 角，\(y\) 张 \(2\) 角，\(z\) 张 \(5\) 角

那么原问题就转化成了求 \(x + 2y + 5z = 100\) 的解 \((x, y, z)\) 的个数

若固定 \(z\)，\(x + 2y = 100 - 5z\)
\(\Rightarrow 0 \leqslant y \leqslant \left[\frac{100-5z}{2}\right]\)，\(y\) 有 \(\left[\frac{100-5z}{2}\right]+1\) 种选择

所以，答案为 \(\sum\limits_{z=0}^{20}(\left[\frac{100-5z}{2}\right]+1) = 51 + 48 + 46 + 43 + \cdots + 3 + 1 = (51 + 46 + \cdots 1) + (48 + 43 + \cdots + 3) = \frac{(51+1)\times 11}{2} + \frac{(48+3)\times 10}{2} = 286 + 255 = 541\)

例题 1.2

集合 \(\{1, 2, 3, \cdots, 100\}\) 的子集中共有 ______ 个至少包含一个奇数.

分析：

情况多 \(\to\) 反面

不含奇数：\(2^{50}\)

答案为 \(2^{100} - 2^{50}\)

例题 1.3

设三位数 \(n = \overline{abc}\)，若以 \(a, b, c\) 为三条边长可以构成一个等腰（等边）三角形，则这样的三位数 \(n\) 有 ______ 个。

分析：

设三边长为 \(x, x, y\)

我们只需看 \(y < x+x = 2x\)