《计算》读书笔记20260318

ID:20260318
3月14日是国际数学日，在这一天，袁亚湘院士分享了一篇报告，题为《计算：第三种科学方法》.这改变了我的认识，也让我重新拾起两年前买的书——吴翰清的《计算》.

数学学科的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，摆在前两位的是数学抽象能力和逻辑推理能力.然而，袁亚湘院士总结道，在人工智能背景下，计算成为与实验、理论并列的科学方法.

《计算》的导论提出三个问题：计算的原理是什么？计算的技术如何实现？计算将对世界产生什么影响？这本书回答的是第一个问题.（第2页）

在教学生圆锥曲线和导数专题时，离不开计算，“计算是基本功”，“要学会在运算中优化方法”等话常挂嘴边，但是这些只停留在算术或运算层面，下次可以尝试提升为一种方法论，引导学生了解问题背后的计算原理是什么？需要哪些计算技巧？这类计算的适用范围是什么？如何改进和推广？

数学家希尔伯特重新建立了平面几何的公理体系，并借助解析几何的方法，将平面几何映射到基于实数的代数学，证明了如果实数代数是一致的，那么平面几何也是一致的.（第9页）

数学史上发生过多次危机，为了重建数学基础，出现了四个流派：逻辑主义、直觉主义、形式主义、柏拉图主义.

希尔伯特试图为数学建立公理化系统，然后抽离符号原本的含义，通过符号之间的变换规则，完成公式之间的变换，而数学证明的过程就是一个公式序列，定理就是公式序列的最后一个公式.希尔伯特认为这个过程可以用来刻画人的思维过程......从此数学的研究对象就高度抽象起来，侧重点从研究数学对象变成研究对象之间的关系.（第9页）

这告诉我们，元素与元素之间的关系（或相互作用）比元素本身更重要，这是一种范畴论的思想.细想之下，计算关心的就是不同元素之间的相互作用.

哥德尔证明了“一个包含初等算术的希尔伯特形式系统不完备，也无法从系统内部证明自身的一致性”.（第10页）

哥德尔提出不完备定理后，我们就需要开始思考计算的边界：哪些可计算？哪些不可计算？计算机的能力边界几乎接近希尔伯特形式系统的能力边界.

首先的问题是数学的本体论——数学是发明还是发现？这个问题对于计算之所以重要，是因为这是一个到底该如何设计计算机的终极问题.数学本体论是否实在，意味着计算理论是否需要重建，也意味着计算机的根本逻辑是否需要重新设计.如果数学是物理实在的，则无穷、连续性都是实在的物理对象的性质，只是我们现在在物理学范畴还没有发现它们，人类还感知不到它们，但我们终有一天有机会发现它们，那现在基于离散过程的计算理论就需要彻底重建.如果数学并非物理实在的，而是一种精神或心灵意义上的客观存在，那我们可能永远都无法达到理想中的数学世界，现在的计算理论就已经接近甚至达到物理上的天花板.如果数学连精神或心灵上的客观存在都不是，那就仅仅是人类思维的发明物，那么理论极限也许会发生变更，未来也许会有新的理论来修正现有的理论.（第13页）

数学是发明还是发现？曾以为这种论述十分无聊，然而这段论述改变了我对这一哲学问题的粗浅看法，这个问题的答案是什么以及如何回答这个问题，影响着计算机未来的走向.

早在20世纪40年代，神经学家沃伦·麦卡洛克和数学家沃尔特·皮茨就发表了一篇跨时代的论文《神经活动内在概念的逻辑演算》，他们为大脑的神经元建模，并证明了特定类型的神经网络原则上能够计算特定类型的逻辑函数......冯诺依曼划时代的报告《关于EDVAC的报告草案》中唯一引用的一篇论文就是麦卡洛克和皮茨的这篇.（第17页）

从这个时候人们开始思考“机器能思考吗？”从复杂科学的角度看，智能和意识是复杂网络涌现的结果.想要解开其中的谜团，或许需要其他思想、方法和工具的帮助，而一旦解开谜团，也许计算机的智能会达到一个意想不到的高度.

生命游戏最了不起的地方在于它从简单中得到了复杂，即使初始状态是确定的，也不知道最后会计算出什么样的结果，每一次演化过程都是不同的......在计算过程中，规则比结果重要.

人们都喜欢简洁优美的东西，但是不是有一种可能，复杂才是更接近本质的呢？