2026上海高三数学竞赛第10题的射影几何解释

（2026上海高三数学竞赛）椭圆\(\small \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)的上顶点为\(\small A\)，右焦点为\(\small F\). \(\small P,Q\)为椭圆上两点，且\(\small FA\)平分\(\small \angle PFQ\).求证：直线\(\small PQ\)过定点，并求该定点坐标.

本题适合初学者学习二次曲线调和点列相关概念.

射影解释：

该定点为极线\(\small AF\)的极点\(\small X\)，坐标为\(\small (4,2)\).根据二次曲线的极线定义，当\(\small X\)为定点时，满足\(\small (P,Q,Y,X)\)为调和点列的动点\(\small Y\)的轨迹为\(\small X\)的极线，再根据配极原理可知，当极线\(\small AF\)给定时，动直线\(\small PQ\)经过\(\small AF\)的极点\(\small X\).

思考题：

该题目其他条件不变，\(\small A\)改为椭圆上动点，原问题中的定点\(X\)会变成动点，证明其轨迹是定直线.