2026武汉三调第18题P点轨迹的射影几何解释

（2026武汉三调）曲线\(\small E:\frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{1-t}=1(0<t<1)\)
与直线\(\small l:x+y=1\)交于点\(\small A\)，过点\(\small A\)且与\(\small l\)垂直的直线交曲线\(\small E\)于另外的点\(\small B\)，设线段\(\small AB\)的中点为\(\small P\)，定点\(\small Q\)的坐标为\(\small \left( \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right)\).
经过坐标运算可以得到\(\small P\)点轨迹是一个抛物线，动图如下：

射影解释

定义：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二次曲线.

举一个例子：如图，\(\small M,N\)是两个不同的中心，\(\small MA,NB\)是对应直线，交点\(\small P\)的轨迹是一个椭圆.

取\(\small AB\)方向上的无穷远点\(\small S\)，\(\small AM\)方向的无穷远点\(\small T\).由于\(\small P\)为\(\small AB\)中点，由定义知\(\small (A,B,P,S)\)是调和点列.注意到，线束\(\small SA\)和\(\small l\)上的点\(\small A\)是透视对应的，即\(\small S(A)\doublebarwedge l(A)\).于是，\(\small (A,B,N,M)\)是调和点列.注意到\(\small AB\perp l\)，考虑作平面上的点关于\(\small x\)轴对称的变换，那么该变换显然是一个对合变换，于是\(\small (N,C,A,T)\)是调和点列，所以我们找到了\(\small l\)上的点垂直于\(\small l\)上的点之间的射影对应，即\(\small l(A)\barwedge O(P)\).

综上，点$\small P$是两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点，故轨迹为二次曲线.由于二次曲线一定经过两个不同的中心，有一个中心$\small S$是无穷远点，故该二次曲线是抛物线.