dmy 线段

题面

给定 \(n\) 个线段，设 \(f(S)\) 表示 \(S\) 集合内线段的并的的长度，设 \(g(S)\) 表示 \(S\) 集合内出现最多的线段端点的数量

有 \(k\) 次修改，修改集合内的一些线段，输出最初状态和每次修改后的 \(max(f(S)-g(S))\)

解法

首先猜测答案的范围，设 $ F= f(全集)$，我们先考虑全集的情况，我们再去除一些不必要的线段

看最后的情况，发现对于一个坐标 \(x\)，它最多有有两个线段的端点是 \(x\)，且分别是左端点和右端点

所以答案的下界就是 \(F-2\)

我们发现 \(f(S)\leq F\)，\(g(S) \geq 1\)，所以 \(f(S)-g(S) \leq F-1\)，即答案只能是 \(F-1\) 或 \(F-2\)

答案等于 \(F-1\) 时的充要条件是对于每个联通的线段并，其可以由端点不重合的线段覆盖

对于一条线段 \([l_i,r_i]\) ,它可以接上当且仅当 $ r_{i-2}<l_i<r_{i-1}<r_i$，这里钦定 \(r_0=L\)，\(l_1=L\)，\(r_k=R\)，\([L,R]\)为一个连通块

那么我们就有一个 \(O(n^3)\) 的 \(DP\)，记录最后的两个右端点 \((p,q)\)，我们发现对于相同的 \(q\)，只保留最小的 \(p\) 就行，这样就是 \(O(n^2)\)

那么我们记 \(h_x\) 为 满足 \(p<r<q\) 的最小的 \(q\) ，这样每次得到的新状态 \(p\) 一定是最小的，这个我们线段树维护 \(h\)，可以做到 \(O(n\log n)\)

当我们将 \(r\) 排序时，发现只要 \(h\) 有值了，后面覆盖一定不优，所以维护一个递增栈就行，单次复杂度 \(O(n)\)

求 \(F\) 可以差分，排序可以用桶排，总体复杂度 \(O(nq)\)