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题面

首先题面所给出的条件很松，可以任意加边，任意定首都，感觉很难做

考虑将条件转化一下，如果这个加边不去掉，感觉多项式很难做，所以先考虑转化加边条件

我们将它转化为 \(\forall i \in n\) ，$\lvert dis_i-dis_{i+1} \rvert \leq L_i $

考虑是为什么对，我们用归纳法证明，首先对于环上点数 \(\leq\) \(1\) 很显然是对的

我们考虑在环上插入一个点 \(i\) ，对于这个点，我们钦定首都对这个点连一条 \(dis_i\) 的边，

使得 \(\lvert dis_i-dis_{i+1} \rvert \leq L_i\)，\(\lvert dis_i-dis_{i-1} \rvert \leq L_{i-1}\) ，这样环上任意点还都是合法的，证毕

现在我们的条件为 \(\forall i \in n\) ，\(\lvert dis_i-dis_{i+1} \rvert \leq L_i\) ，\(dis_i \geq 0\) 且至少有一个 \(dis_i=0\) ，我们要求的是 $ \sum dis_i*c_i$ 的最大值

我们发现一个条件 $ \sum c_i=0$ ，所以我们让所有的 \(dis_i \leftarrow dis_i+k\) 其 $ \sum dis_i*c_i$ 是不会变的，

所以我们可以将 \(dis_i \geq 0\) 这个条件去掉，因为当有负数时，我们让 \(dis\) 同时加上一个正整数即可

同时这也把首都这个条件也扔掉了，我们让可以钦定任意一个点当作首都，因为任意 \(dis\) 都可以加减一个整数变为 \(0\)

现在我们这个题的条件就转化为 \(\forall i \in n\) ，\(\lvert dis_i-dis_{i+1} \rvert \leq L_i\) ，求的是 $ \sum dis_i*c_i$ 的最大值

我们看到 \(dis_i-dis_{i+1}\) 是差分形式，所以考虑 \(dis\) 的差分数组 \(w_i=dis_{i+1}-dis_i\)，

我们考虑 \(w_i\) 所带来的影响就是将 \(i\) 后面的所有 \(c_i\) 乘上 \(w_i\) 所以改变 \(c_i\) 为 $ \sum\limits_{j \geq i} c_i$ 之和
将条件转换为 求 \(\sum_{i=1}^{n-1} w_i*c_{i+1}\) 的最大值，$ \lvert w_i \rvert \leq L_i$ , \(\sum w_i=0\)

当我们不考虑 \(\sum w_i=0\) 时 ,可以贪心，当 \(c_i\leq 0\) 时，\(w_i=-L_i\)，\(c_i > 0\) 时，\(w_i=L_i\)

现在为使 \(\sum w_i=0\)，若 \(\sum w_i < 0\) 我们要使一些负 \(w_i\) 增大，每个负 \(w_i\) 可以增加 \(2*-w_i\) 次，增加一次减少 \(-c_i\)

选取影响最小的几个即可，另一种情况类似,这个我们放值域线段树上二分即可，在实现的过程中 \(w_n\) 可以在 \(-L_n \sim L_n\) 之间，特殊处理即可

时间复杂度 \(O((n+q)log n)\)