数学分析（上册）简单记录 IV

\(\rm Chapter \ 4\). 一元微分学的顶峰—— Taylor 定理

名字不是我起的。

\(\S 4.1\) 函数的微分

当 \(\Delta x \to 0\) 时，我们有 \(f(x+\Delta x) - f(x) = f'(x) \Delta x + o(\Delta x)\)。我们给出定义：如果 \(f\) 在 \((a,b)\) 上有定义，且对于 \(x_0 \in (a,b)\) 来说，存在常数 \(\lambda\) 使得 \(f(x+\Delta x) - f(x) = \lambda \Delta x + o(\Delta x)\) 对 \(\Delta x \to 0\) 成立，则称 \(\lambda \Delta x\) 为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的微分，记为 \(\text{d} f(x_0)\)。

显然可导与可微等价，且 \(\text{d}f(x_0)=f'(x_0) \Delta x\)。由 \(\text{d} x = \Delta x\) 得 \(\text{d} f(x_0) = f'(x_0) \text{d} x\)。微分是 \(\Delta x\) 的一个线性齐次函数，且这个函数的定义域是全体实数（\(x_0\) 不同函数可能不同），其与 \(\Delta f(x)\) 的区别为 \(\Delta x\) 的高阶无穷小。

定义微分的四则运算，比如 \(\text{d} fg = f \text{d}g + g \text{d} f\)，以及 \(\text{d} (\frac{f}{g}) = \frac{g \text{d} f - f \text{d} g}{g^2}\)。

我们可以计算 \(\frac{\text{d} f(x)}{\text{d} x} = f'(x)\)。这是一篇 thu 学长写的文章，介绍了类似符号的本质，非常有意思。

接着介绍了二阶微分相关。Warning：以下内容为我的理解并参考 Chatgpt 给出。我们考虑给定 \(\epsilon > 0\)，定义 \(f_1(x) = f(x+\epsilon) - f(x )\)，以及 \(f_{n}(x) = f_{n-1}(x+ \epsilon) - f_{n-1}(x)\)，这里的 \(\epsilon\) 就是下文的 \(\text{d} x\)（可以证明，如果 \(n\) 阶导数存在，则 \(\lim_{\epsilon \to 0}\frac{f_n(x_0)}{\epsilon^n} = f^{(n)}(x_0)\)）。换句话说，我们将以 \(\epsilon\) 为量度，去分析 \(f\) 的变化情况。对于 \(\text{d} f(x) = f'(x) \text{d} x\)，我们再加之 \(\text{d}\) 运算符，即 \(\text{d}(f'(x) \text{d} x)\)，我们认为，\(\text{d} x\) 是常数 \(\epsilon\)，所以直接转化为 \(f''(x) (\text{d} x)^2\)。设 \(y=f(x)\)，我们认为这个结果是 \(y\) 加以两次微分算子 \(d\) 的结果。我个人的理解是，我们在 \(\epsilon\) 给定的情况下做线性或者二次、更高次的逼近，然后令 \(\epsilon \to 0\)，考虑的是这个数学过程的结果。

在第二天的 8 月 15 日，我意识到：直接使用 \(f'(x)\) 当做 \(\text{d}x\) 量度下的线性逼近是不准确的，因为你忽略了一个比 \(\text{d}x\) 低阶，但是在以 \(\text{d} x^2\) 量度下不可忽略的量。那么我更加认为，二阶微分本质上是一个算子，没啥实际含义。是不是这样，只有等我开学了去请教别人才能得出。

考虑复合函数 \(y = f(\varphi(t))\)。则 \(\text{d} y = f'(\varphi(t)) \varphi'(t)\text{d} t = f'(x) \text{d} x\)，如果令 \(\varphi(t) = x\)。这称为一阶微分的形式不变性。对于更高阶的微分，不存在这样的形式不变性。

\(\S 4.2\) 带 Peano 余项的 Taylor 定理

在第一节中，我们给出了 \(f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(x - x_0)\) 对于 \(x \to x_0\)，有些问题中我们希望将其分析的更加细致，例如 \(f(x) = A + B(x-x_0) + C(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)\)。令 \(x \to x_0\)，有 \(A=f(x_0)\)；移项有 \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = B + C (x - x_0) + o(x-x_0)\)，令 \(x \to x_0\) 有 \(B=f'(x_0)\)。再移项，即 \(C = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}\)。施 L'Hospital 法则，有 \(C = \frac{1}{2} f''(x_0)\)。

得到唯一的多项式之后，我们可以知道 \(\lim_{x \to x_0} f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0) - \frac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2 = 0\)。

（Taylor 公式）设 \(f\) 在点 \(x_0\) 处一直到 \(n\) 阶导数都存在，则定义 \(T_n(f,x_0;x) = \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}}{i!}(x_0)(x-x_0)^i\)，称在 \(x_0\) 处的 Taylor 多项式。特别地，当 \(x_0=0\)，称函数 \(f\) 的 Maclaurin 多项式。

令 \(R_n(x) = f(x)-T_n(f,x_0;x)\)，则 \(\lim_{x \to x_0} \frac{R(x)}{(x-x_0)^n} = 0\)，称 \(R_n(x)\) 为 Peano 余项。

证明：与上文证明 \(R_2(x)\) 类似，加上数学归纳法即可。

Taylor 公式可以快速地分析出无穷小的“阶”，并且能比较清楚的讨论一个点是否为极值点（以 \(f(x)= \exp(-\frac{1}{x^2})\) 为例，在补充定义 \(f(0)=0\) 后无法通过导数进行判断）。

\(\S 4.3\) 带 Lagrange 余项和 Cauchy 余项的 Taylor 定理

（Taylor 定理）设 \(f\) 在 \(x_0\) 处 \(n+1\) 阶导数存在，则对于 \(x\) 我们可以写出 \(f(x) = T_n(f,x_0;x) + R_n(x)\)，其中 \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) 或者 \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-x_0)\)，其中 \(\xi\) 处于 \(x\) 和 \(x_0\) 之间。（当然这要求这一大段都存在导数）

证明：令 \(F(t) = T_n(f,t;x)\)（注意自变量是 \(t\)）。根据第三章那个 \(F'(\xi) = \lambda'(\xi) ( F(x_0)-F(x))\) 的定理。构造 \(\lambda(t) = (\frac{x-t}{x-x_0})^{n+1}\)。由于 \(F\) 是在 \(t\) 处的 Taylor 多项式，所以 \(F'(t) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\)。将这个式子略加整理一下，就得到了第一种情况，称为 Lagrange 余项。取 \(\lambda(t) = \frac{x-t}{x-x_0}\) 得到第二种情况，称为 Cauchy 余项。

这两个余项的意义是，类似中值定理去分析逼近的误差。

例题：给连续函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上做线性逼近 \(g(x)\)，且 \([a,b]\) 上二阶导数存在。设 \(|f''|\) 在 \([a,b]\) 的上界为 \(M\)，则 \(|f(x) - g(x) | \le \frac{M}{8} (b-a)^2\)。

证明：考虑计算 \(f(a) - f(x)\)。这个可以看做，\(T_1(f,x;t)\) 逼近 \(f(a)\)，即 \(f(a) = f(x) + f'(x)(a-x)+ \frac{f''(\xi)}{2} (a-x)^2\)。由于线性插值是两端的，所以很容易想到把 \(g(x)\) 给用 \(f(x)-f(a)\) 与 \(f(x)-f(b)\) 表示出来，成功的抵消了 \(f'(x)\) 的影响。略加整理与放缩，我们就得出了这条式子。

本节末尾还给出了一些使用 Taylor 定理去进行数值近似的例子。其优势在于，可以只使用四则运算将无理数的近似做到了相当高的精度。

高联前大概不会再更新了罢，我还想再进一次省队。