数学分析（上册）简单记录 III

挂个人：

\(\rm Chapter \ 3\). 函数的导数

\(\S 3.1\) 导数的定义

如果 \(f\) 在 \(x_0\) 的极小实心邻域内有定义，极限 \(\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) 存在，称为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的导数，记为 \(f'(x_0)\)。当 \(h \to 0^+\)，记为 \(x_0\) 处的右导数，记为 \(f'_{+}(x_0)\)，同理定义左导数 \(f'_{-}(x_0)\)。

如果 \(f'(x_0)\) 存在，称 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导。可导等价于左右导数存在且相等，且可以推出在 \(x_0\) 处连续。然而连续不一定可导。（事实上，存在函数处处连续但是处处不可导）

给定区间 \([a,b]\)。如果 \(\forall a < x_0 < b\) 有 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \(f\) 在 \((a,b)\) 上可导。如果在 \(a\) 存在右导数，或者 \(b\) 存在左导数，可以将“可导”扩展到闭区间。

\(\S 3.2\) 导数的计算

高中内容，一些严谨的推导利用了前面等价无穷小量，以及极限运算的各种性质。

实例 \(1\)：证明 \((fg)'=f'g+fg'\)。

证明：\((fg)(x+h)-(fg)(x) = [f(x+h)-f(x)]g(x+h)+[g(x+h)-g(x)]f(x)\)。除以 \(h\) 之后令 \(h \to 0\)，则 \(\lim_{h \to 0} g(x+h)=g(x)\)，即证。

实例 \(2\)：证明 \((f \circ g)' = (f' \circ g) \times g'\)。

证明：构造 \(\varphi\)，在 \(x=t_0\) 时 \(\varphi(x) = 0\)，否则 \(\varphi(x) = \frac{f(x)-f(t_0)}{x-t_0}\)。\(\varphi\) 时连续函数，且 \(\frac{f(g(t))-f(g(t_0))}{t-t_0} = \varphi(g(t)) \frac{g(t)-g(t_0)}{t-t_0}\)，两边令 \(t \to t_0\) 即得。

反函数求导：设 \(f(x)\) 在 \(I\) 上严格单调且值域是 \(J\) 且在 \(f(x)\) 上可导，并且 \(f'(x) \neq 0\)，则 \((f^{-1})'\) 的导函数为 \((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)。

一个有趣的事情：连续函数在区间 \((a,b)\) 上可导，但是 \(f'(x)\) 不一定在 \((a,b)\) 上连续。构造

\[f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & ,x=0 \\ x^2 \sin(\frac{1}{x}) &, x \neq 0 \end{matrix} \right. \]

在 \(f'\) 在 \(0\) 处并不连续。

\(\S 3.3\) 高阶导数

基本初等函数的高阶导数具有良好性质：\(e^x\) 不变，幂函数求导还是幂函数，多项式求高阶导后变为 \(0\)，三角函数有周期，等等。

莱布尼兹公式：\((fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}g^{(k)}\)。容易归纳证明。

\(\S 3.4\) 微分学的中值定理

下文的 \(f\) 未做说明在给定闭区间 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导。

如果 \(f\) 定义域为 \((a,b)\)，\(x_0 \in (a,b)\) 且存在 \(\delta > 0\) 使得 \(B_{\delta}(x_0) \subset (a,b)\) 且 \(\forall x \in B_{\delta}(x_0)\)，有 \(f(x_0) \ge f(x)\)，则称 \(x_0\) 是 \(f\) 的一个极大值点，同理定义极小值点，统称为极值点。

Fermat 定理：若 \(f\) 在其极值点 \(x_0\)，且 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \(f'(x_0)=0\)。

证明：不妨设是极大值。则 \(f'_+(x_0) \le 0\)，\(f'_-(x_0) \ge 0\)。由于 \(f'_+(x_0)=f'_-(x_0)=f'(x_0)\)，则 \(f'(x_0)=0\)。

如果 \(f'(x_0)=0\)，定义 \(x_0\) 为 \(f\) 的驻点。显然驻点和极值点并不等价。

Rolle 定理：\(f(a)=f(b)\)，则存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得 \(f'(\xi) = 0\)。

证明：设 \(M\) 为 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的最大值，\(m\) 为最小值。如果 \(M=m\) 已经证明，否则 \(m\) 和 \(M\) 至少有一个在 \((a,b)\) 处取到。而最大（小）一定是极大（小），根据 Fermat 定理即可证明。

Rolle 定理可以推广到 Lagrange 定理和 Cauchy 定理，这里引入一个引理：

\(\lambda\) 和 \(f\) 都在 \([a,b]\) 上连续且在 \((a,b)\) 上可导，且 \(\lambda(a)=1,\lambda(b)=0\)。则存在 \(\xi \in(a,b)\) 使得 \(f'(\xi) = \lambda'(\xi)(f(a)-f(b))\)。

证明：构造 \(g(x) = f(x) - [\lambda(x)f(a)+(1-\lambda(x))f(b)]\)，则 \(g(x)\) 连续且 \(g(0) = g(1) = 0\)，且 $g'(x) = f'(x) +[f(b)- f(a)] \lambda'(x) $。根据 Rolle 定理，存在 \(\xi\) 使得 \(g'(\xi) = 0\)，即证。

Lagrange 定理：令 \(\lambda(x) = \frac{b-x}{b-a}\)（即一次函数），得存在 \(\xi\) 使得 \(f'(\xi) = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}\)。其最大的运用在于，经常能用到 \(f(a)-f(b)\) 的问题，使用拉格朗日中值定理将其放缩为和 \(a-b\) 有关的量（因为我们往往容易控制一个函数在闭区间上的界，所以求导之后效力非常明显）。

Cauchy 定理：令 \(\lambda(x) = \frac{g(x)-g(b)}{g(a)-g(b)}\)，则存在 \(\xi\) 使得 \(f'(\xi) = \frac{g'(\xi)}{g(a)-g(b)} \times [f(a)-f(b)]\)，整理即 \(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}\)。显然需要保证 \(g'(x) \neq 0\) 恒成立，这也推导出 \(g(a) \neq g(b)\)。（UPD：有点意识流，没看懂当时在写啥。应该说，\(g'(x) \neq 0\) 和 \(g(a） \neq g(b)\) 是 Cauchy 中值定理成立的条件。）

在 \(\S 3.2\) 中，我们给出了“连续可导函数导函数不一定连续”的论断，那么关于连续可导函数的导函数有没有什么性质呢？

Darboux 定理：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可导，则：(1) \(f'\) 可以取到 \([\min(f'(a),f'(b)),\max(f'(a),f'(b))]\) 上的一切值；(2) \(f'\) 无第一类间断点。

(1) 本质在描述 \(f'\) 的介值性，(2) 本质在描述 \(f'\) 的连续性。

(1) 证明：显然我们只需要证明：如果 \(f'(a)f'(b) < 0\)，那么存在 \(\xi\) 使得 \(f'(\xi) = 0\)（构造一个新的函数 \(g(x) = f(x) - V x\) 就可以证明一般结论）。不妨设 \(f'(a)>0\) 且 \(f'(b)<0\)，则可以证明 \(a\) 和 \(b\) 都不可能是最大值点，最大值点在中间，根据 Rolle 定理即证。
(2) 证明：第一类间断点存在说明 \(f'(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f'(x)\)。而可以证明，\(\lim_{x \to x_0^+} f'(x) = f'_+(x_0)\)，显然导出矛盾。

\(\S 3.5\) 利用导数研究函数

本节研究了单调性，极值和凸性。

\(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，则 \(f\) 单调递增等价于 \(f' \ge 0\) 恒成立。

证明：必要性显然，充分性使用拉格朗日中值定理即可。

如果 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，则 \(f' > 0\) 恒成立可以推出 \(f\) 严格递增。

而两条定理可以强化：对于第一条定理，我们可以将 \(f' \ge 0\) 恒成立改写为“除了有限个点，\(f' \ge 0\) 恒成立”，这样可以处理一些“不可导”的情况；对于第二条定理，我们可以得到 \(f\) 严格递增的充要条件：\(f' \ge 0\) 恒成立，并且 \(\forall (c,d) \subseteq [a,b]\)，\(f'(x) = 0\) 在 \((c,d)\) 上不恒成立。

如果 \(x_0\) 是函数的极值点，且 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，一定有 \(f'(x_0)=0\)。显然这不充分也不必要，那咋办。

（不需要 \(f'(x_0)\) 的信息）若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(x_0 \in (a,b)\) 且存在一个 \(\delta>0\)，使得 \(f'(x) > 0\) 在 \((x_0-\delta,x_0)\) 上成立，\(f'(x)<0\) 在 \((x_0,x_0+\delta)\) 上成立，则 \(x_0\) 是一个极大值点。这个定理必要性是显然的，但是并不充要，构造

\[f(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin \frac{1}{x} + |x|, & x\neq 0 \\ 0,& x = 0 \end{matrix} \right. \]

该函数特征是：处处连续，\(0\) 是极值点，但是 \(f'(0)\) 不存在，且空心邻域内的导数没啥性质。

（\(f'(x)=0\) 的情况）对于驻点来说，如果存在二阶导函数 \(f''(x_0)\) 使得 \(f''(x_0) \neq 0\)，我们就能判断它是否是极值点。

函数的所有极值点，加上边界上的两个点，从中可以选出函数的最值点。

凸函数的定义式，在区间 \(I\) 上任意 \(x_0\) 和 \(x_1\)，以及任意 \(t \in [0,1]\)，有 \(f(tx_0+(1-t)x_1) \le tf(x_0) + (1-t) f(x_1)\)。如果 \(t \in (0,1)\) 时不等号总成立，则称之为严格凸函数。使用数学归纳法，容易证明 Jensen 不等式：给定 \(\lambda_i > 0\) 且 \(\sum \lambda_i = 1\)，则 \(f(\sum \lambda_ix_i) \ge \sum \lambda_i f(x_i)\)。凸函数还有等价定义是，任意 \(x_1<x<x_2\) 有 \(\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}\)。

使用等价定义容易证明：若 \(f\) 在闭区间上连续在开区间上可导，则 \(f\) 是凸函数等价于 \(f'\) 递增，\(f\) 是严格凸函数等价于 \(f'\) 严格递增，这件事情又可以用二阶导数刻画。

\(\S 3.6\) L'Hospital 法则

当 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0\) 时，如何计算 \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}\)？

L'Hospital 法则：如果 \(\lim_{x \to x_0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在，则 \(\lim_{x \to x_0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)}{g(x)}\)。

证明：不妨设 \(f(x_0)=g(x_0)=0\)，这样增加了连续性。根据柯西中值定理，对于 \(x>x_0\) 存在 \(x < \xi < x_0\) 使得 \(\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)，\(\xi \to x_0^+\)，即得。

做一个小小的代换，就可以得到 \(x \to + \infty\) 的极限。

L'Hospital 法则 2：如果 \(\lim_{x \to a^+} g(x) = \infty\)，且 \(\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在（可为 \(\infty\)），则 \(\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)。（注意，我们在假设里面没有 \(\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty\)，一些不确定是否收敛的函数可以构造证明，见本节练习题最后一题）。

证明：不妨设 \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) 收敛与有限数 \(k\)。则给定 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta\) 使得 \(a < x < a+\delta\) 时，\(k - \epsilon < \frac{f'(x)}{g'(x)} < k+\epsilon\)。给定一个 \(x < c < a + \delta\)，根据柯西中值定理有 \(k - \epsilon < \frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} < k+ \epsilon\)，而 \(\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} = (\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(c)}{g(x)}) (1 - \frac{g(c)}{g(x)})^{-1}\)。令 \(x \to a^+\)，应当有 \(\limsup_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} \le l+ \epsilon\)，令 \(\epsilon \to 0\)，使用另一种方法得到 \(l \le \liminf_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} \le \limsup_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} \le l\)，那么 \(\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = l\)。