数学分析（上册）简单记录 II
\(\rm Chapter \ 2\). 函数的连续性
\(\S 2.1\) 集合的映射
略。
\(\S 2.2\) 集合的势
如果能在集合 \(A\) 和 \(B\) 上建立一一对应，那么称 \(A\) 和 \(B\) 拥有相同的势（基数），或 \(A\) 与 \(B\) 等价，记为 \(A \sim B\)。显然这里的 \(\sim\) 是等价关系，拥有自反性、对称性和传递性。
定义 \(N_n = \{1,2,\cdots,n\}\)。如果存在 \(n\) 使得 \(A \sim N_n\)，那么 \(A\) 是有限集；如果 \(A \sim N\)，那么 \(A\) 是可数集；其他情况是不可数集。有限集和可数集统称为至多可数的。
基本结论：设集合 \(\{E_n\}\) 是至多可数的，且每个 \(E_i\) 也是至多可数的，那么 \(\cup_{i} E_i\) 也是至多可数的。使用 Cantor 表进行证明。
利用这个结论容易证明：有理数集是可数的。
有趣的问题：构造 \((0,1)\) 和 \([0,1]\) 之间的双射。
类似希尔伯特旅店的问题。我们将 \(0\) 对应到 \(\frac{1}{2}\)，\(1\) 对应到 \(\frac{1}{3}\)，而 \(\frac{1}{n}\) 对应到 \(\frac{1}{n+2}\)，其他的数保持不变。
\([0,1]\) 上全体实数是不可数的。
证明：考虑一个区间 \(I_i=[l_i,r_i]\)。每次将 \(I_{i-1}\) 分成三个区间，总有一个不包含 \(x_i\)。这一系列闭区间套确定了唯一的实数 \(\alpha\)，容易证明 \(\alpha\) 并不在 \(\{x_n\}\) 中，那么无法对应双射。
\(\S 2.3\) 函数
略。
\(\S 2.4\) 函数的极限
定义 \(B_{\delta}(x) = \{y : |x- y| < \delta\}\)，空心邻域 \(B_{\delta}(\hat x) = \{y : 0 < |x-y| < \delta\}\)。
函数 \(f(x)\)，如果在 \(x_0\) 的近旁（某个很小的空心邻域 \(B_{\delta}\) 内）有定义，且存在实数 \(v\)，使得 \(\forall \epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\) 使得 \(\forall x \in B_{\delta}(\hat x_0)\)，\(|f(x)-v| < \epsilon\)，那么称函数 \(f\) 在 \(x\) 趋于 \(x_0\) 时有极限 \(l\)，记为 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\)。显然 \(l\) 和 \(f(x_0)\) 没有任何关系。
函数的极限和数列的极限息息相关。定理：\(f\) 在 \(x_0\) 处有极限 \(l\) 的充要条件是：对于任何收敛于 \(x_0\) 的数列 \(\{x_n \neq x_0 \}\)，都有数列 \(\{f(x_n)\}\) 的极限为 \(l\)。证明是显然的，该定理可以证明极限不存在。
定义狄利克雷函数 \(D : R \to \{0,1\}\) 为 \([x \in Q]\) 的示性函数，则 \(D\) 处处不存在极限。狄利克雷函数可以用来澄清很多误区。
函数极限的唯一性：如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在，那么是唯一的。
函数极限的四则运算：若 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 和 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 均存在，那么有：\(\lim_{x \to x_0} (f \pm g) (x) = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x)\)；\(\lim_{x \to x_0} fg(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) \lim_{x \to x_0} g(x)\)；\(\lim_{x \to x_0} \frac{f}{g}(x) = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)}\)。
夹逼原理：如果 \(f\)、\(g\)、\(h\) 在 \(x_0\) 的极小空心邻域内有 \(f(x) \le h(x) \le g(x)\)，且 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x)\)，则 \(\lim_{x \to x_0} h(x) = \lim_{x \to x_0} f(x)\)。
函数的复合：已知 \(\lim_{x \to x_0} g(x) = t_0\) 且在 \(x_0\) 的邻域内 \(g(x) \neq t_0\)，那么 \(\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \lim_{t \to t_0} f(t)\)。
上述几条性质只需要转化为数列即可证明。
Cauchy 收敛原理：函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处有极限，当且仅当 \(\forall \epsilon >0\)，存在 \(\delta > 0\) 使得 \(\forall x_1,x_2 \in B_{\delta}(\hat {x_0})\) 都有 \(|f(x_1)-f(x_2) | < \epsilon\)。
证明：必要性显然，考虑充分性。考虑随便取一个收敛到 \(x_0\) 的序列，显然 \(\{f(x_n)\}\) 是基准列，会收敛到一个数 \(l\)。考虑另一个序列 \(\{y_n\}\)，将 \(\{f(x_n)\}\) 和 \(\{f(y_n)\}\) 交替放在一起，发现仍然是基准列，应当收敛到 \(l'\)。显然收敛序列任意子列都收敛到同一值，所以 \(l=l'\)，即证。
将邻域改为 \(>x\) 的邻域和 \(<x\) 的邻域，容易定义“左极限”和“右极限”，记为 \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\) 和 \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\)，分别记为 \(f(x_0^+)\) 和 \(f(x_0^-)\)。那么，\(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在当且仅当 \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)\)。
\(\S 2.5\) 极限过程的其他形式
上面的都是 \(\to x_0\)，但是显然可以类似定义 \(\to \pm \infty\) 以及 \(\to \infty\)。许多定理在这里仍然使用。
\(\S 2.6\) 无穷小和无穷大
定义函数极限的时候，也可以定义 \(\lim_{x \to x_0} f(x) \to + \infty\)、\(\to - \infty\) 和 \(\to \infty\)。这里反而是最后一个要求最松——我们称，在这个极限过程中，\(f\) 是无穷大。之前也接触过“无穷小”的定义，显然无穷小的倒数是无穷大。
设当 \(x \to x_0\) 时，\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都是无穷小，并且 \(g\) 不取 \(0\) 值（在 \(0\) 的一个充分小的空心邻域之中），那么求出 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}\)。如果这个数存在且 \(=0\)，称 \(f\) 是 \(g\) 的更高阶无穷小；如果存在有限且 \(\neq 0\)，称 \(f\) 是 \(g\) 的同阶无穷小；如果 \(=1\) 称 \(f\) 是 \(g\) 的等价无穷小。在求 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 的时候，如果它和 \((x-x_0)^{\alpha}\) 是同阶无穷小，我们称其阶为 \(\alpha\)，这样量化了“阶”。同样可以定义无穷大之间的关系和“阶”。
等价无穷小的运用：如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 和 \(\lim_{x \to x_0} g(x)\) 是等价无穷小，那么对于在 \(x_0\) 处有极限的 \(h(x)\) 来说，\(\lim_{x \to x_0} f(x)h(x) = \lim_{x \to x_0} g(x)h(x)\)，且 \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{h(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{h(x)}\)，证明是显然的。
定义 \(O()\) 记号表示同阶无穷小，\(o()\) 记号表示更高阶的无穷小，使用这些记号可以更方便的处理极限问题。
\(\S 2.7\) 连续函数
设 \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\)，定义 \(f\) 在 \(x_0 \in (a,b)\) 处连续当且仅当 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)。很容易使用 \(\epsilon-\delta\) 语言去刻画这件事情。
狄利克雷函数 \(D\) 满足：\(D(x)\) 没一点都不连续，\(f(x)=xD(x)\) 只在 \(x=0\) 处连续。
如果 \(f(x_0^+)=f(x_0)\)，那么称 \(f\) 在 \(x_0\) 右连续，同理定义左连续。这样可以定义闭区间上的连续（端点只考虑一侧连续）。
利用极限的四则运算，我们可以证明：函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \(x_0\) 处连续，那么 \(f \pm g\) 和 \(fg\) 在 \(x_0\) 处连续，\(g \neq 0\) 时 \(\frac{f}{g}\) 在 \(x_0\) 处连续。如果 \(g\) 在 \(x_0\) 处连续，\(f\) 在 \(f(g(x_0))\) 处连续，则 \(f \circ g\) 在 \(x_0\) 处连续。
定义 \(f\) 在开区间 \(I\) 上连续，当且仅当 \(\forall x \in I\) 有 \(f\) 在 \(I\) 处连续；闭区间上连续指的是，在对应开区间上连续，且在两个端点单侧连续。
定理：如果 \(f\) 是 \(I\) 上严格递增的连续函数，则 \(f^{-1}\) 是在 \(I'\) 上严格递增的连续函数。证明显然。
将多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数，他们通过四则运算和符合得到的函数称为初等函数，则所有初等函数在定义域上连续。
如果 \(f(x_0^+)\) 和 \(f(x_0^-)\) 都存在但并不相等，称 \(x_0\) 是跳跃点；如果相等但是不等于 \(f(x_0)\)，称 \(x_0\) 是可去间断点；如果 \(f(x_0^+)\) 和 \(f(x_0^-)\) 二者至少有一个不存在或者不是有限的数，称为 \(x_0\) 是 \(f\) 的第二类间断点。前两者统称为第一类间断点。
定理：若 \(f\) 是 \((a,b)\) 上的单调函数，则 \(f\) 的间断点一定是跳跃点，而且是至多可数的。
证明：记集合 \(A = \{f(x) : x < x_0\}\)，那么 \(A\) 一定有上界 \(\sup A\)。发现 \(\sup A\) 满足 \(f(x_0^-)\) 的定义，那么 \(f(x_0^-)\) 一定存在。那么 \(f(x_0^-) < f(x_0) < f(x_0^+)\)，由于是间断点所以一定有 \(f(x_0^-) < f(x_0^+)\)。而每个跳跃点的跳跃区间都包含了一个有理数，这些有理数互不相同，所以跳跃点事至多可数的。
\(\S 2.8\) 连续函数与极限计算
有理分式极限的计算是容易的，甚至能确定阶。
对于一类求 \(\lim_{x \to x_0} u(x)^{v(x)}\) 的问题，但是 \(u(x) \to 1\) 且 \(v(x) \to +\infty\)，怎么处理？
改写为 \([1+(u-1)]^v = [(u-1+u)^{\frac{1}{u-1}}]^{v(u-1)}\)。当 \(u \to 1\)，可以证明前者是 \(e\)，即 \(e^{v(u-1)}\)。\(v(x)u(x)-v(x)\) 的极限存在且有限时，\(u(x)^{v(x)}\) 的极限就存在且有限了（为什么底下能直接换成 \(e\)，可以使用极限乘法的类似方法证明）。
\(\S 2.9\) 函数的一致连续性
如果 \(\forall \epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\) 使得 \(\forall |x_1-x_2| < \delta\) 有 \(|f(x_1)-f(x_2)| < \epsilon\)，那么称函数 \(f\) 在定义域上一致连续。
显然函数的一致连续性要严格强于其连续性，比如 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \((0,+\infty)\) 上就不具有一致连续性。
Lipschitz 条件：存在正常数 \(k\) 使得 \(f\) 在区间定义域 \(I\) 上满足 \(|f(x)-f(y)| \le k | x-y|\)。如果 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上满足 Lipchitz 条件（\(a>0\)），那么 \(\frac{f(x)}{x}\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续。
证明：只需要略微放缩。显然有 \(|f(x)| \le kx + |f(a)|\)，因此 \(\frac{|f(x)|}{x} \le k + \frac{|f(a)|}{x} \le K\)。则 \(|\frac{f(x)}{x} - \frac{f(y)}{y} | = \frac{|yf(x)-xf(y)|}{xy} \le \frac{f(y)-f(x)}{y} + \frac{|x-y|}{y} \times \frac{|f(x)|}{x} \le \frac{k+K}{a} | x-y|\)。显然满足一致连续性的定义。
\(\S 2.10\) 有限闭区间上的连续函数的性质
定理：设函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，则在 \([a,b]\) 上一定一致连续。
证明：假设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，但是不一致连续。那么存在 \(\epsilon > 0\)，对 \(\forall \delta > 0\) 存在 \(s_{\epsilon}\) 和 \(t_{\epsilon}\) 满足 \(|s-t| < \delta\) 且 \(|f(s)-f(t)| > \epsilon\)。设 \(\epsilon = \frac{1}{n}\)，那么得到序列 \(\{s_n\}\) 和 \(\{t_n\}\)。考虑取出 \(\{s_n\}\) 的一个收敛子列，收敛于 \(s\)。由于是闭区间，保证了 \(s \in [a,b]\)。 那么显然，\(f\) 在 \(s\) 处并不连续，矛盾！（因为子列 \(\{s_{i_n}\}\) 和 \(\{t_{i_n}\}\) 都收敛到 \(s\)，则根据连续性 \(\epsilon \le \lim_{n \to \infty} f(s_{i_n}) - \lim_{n \to \infty} f(t_{i_n}) = \lim_{x \to s} f(x) - \lim_{x \to s} f(x) = 0\)）
定理：有界闭区间上的连续函数必在区间内有上界。
证明：假设不存在上界，对于每个 \(n\) 我们都可以找到 \(x_n\) 使得 \(f(x) > n\)。那么考虑 \(\{x_n\}\) 一个子列 \(\{x_{i_n}\}\) 收敛于 \(x_0\)，则 \(\lim_{n \to \infty} f(x_{i_n}) = f(x_0)\)，对于连续函数显然矛盾！
定理：设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(M = \sup_{a \le x \le b} f(x)\)，\(m = \inf_{a \le x \le b} f(x)\)，则存在 \(x_1\) 和 \(x_2\) 满足 \(f(x_1)=M\) 且 \(f(x_2)=m\)。
证明：根据上确界的定义，\(\forall \epsilon > 0\)，存在 \(x_0 \in [a,b]\) 使得 \(f(x_0) > M - \epsilon\)。令 \(\epsilon = \frac{1}{n}\)，那么 \(\{x_n\}\) 存在子列收敛于 \(x_0\)。而 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{n \to \infty} f(x_{i_n}) =M\)。另一个同理。
介值定理：\(f\) 是 \([a,b]\) 上的连续函数，\(\min\{f(a),f(b)\} < \gamma < \max \{f(a),f(b)\}\)，则存在 \(a<x<b\) 使得 \(f(x) = \gamma\)。使用二分法 + 闭区间套容易证明。
\(\S 2.11\) 函数的上极限与下极限
对于在 \(B_{\delta}(\hat{x_0})\) 有定义的 \(f\)，定义 \(E_{x_0} = \{ l \in \mathbb R \cup \{+ \infty,- \infty\} : 存在 x_n \to x_0 \ s.t. \ f(x_n) \to l\}\)。定义 \(E_{x_0}\) 的上确界和下确界分别为 \(\limsup_{x \to x_0} f(x)\) 和 \(\liminf_{x \to x_0} f(x)\)，称为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的上极限和下极限。
其性质和数列的上下极限非常相似。
\(\S 2.12\) 混沌现象
考虑函数的迭代，如果 \(f^n(x) = x\) 称 \(n\) 是 \(x\) 的周期，最小的正整数 \(n\) 称为 \(x\) 的最小周期。
Li-Yorke 定理：对于连续函数 \(f : I \to I\)（\(I\) 是闭区间），如果 \(f\) 存在 \(3\) 周期点（即最小周期为 \(3\)），那么任意正整数 \(n\)，\(f\) 都存在 \(n\) 周期点。教材将其拆分成若干个引理：
- 若 \(J = [a,b] \subseteq I\)，且 \(f(J ) \supseteq J\)，则存在 \(x\) 使得 \(f(x) = x\)；
- 设 \(J_1,J_2 \subseteq I\)，且 \(f(J_1) \supseteq J_2\)，则存在 \(K \subseteq J_1\) 使得 \(f(K)=J_2\)；
- 设若干个区间 \(J_1,J_2,\cdots,J_n\) 使得 \(f(J_i) \supset f(J_{i \bmod n + 1})\)，则存在 \(x_1\) 满足：从 \(x_{i+1}=f(x_i)\) 且 \(f(x_i) \in J_i\)。
这三者证明是显然的，都是一些小孩子过家家的基础套路。
考虑使用这三个引理证明 Li-Yorke 定理。设 \(x_0\) 为一个 \(3\) 周期点，且满足 \(x_0<f(x_0)<f(f(x_0))\)。（注意轮换是不能得到这个顺序的，但是可构造 \(g(x)=-f(-x)\) 来实现），分别记为 \(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)。
注意 \(f([x_2,x_3]) \supseteq [x_2,x_3]\)，所以必存在 \(x_2 \le x \le x_3\) 使得 \(f(x)=x\)，即存在 \(1\) 不动点；考虑 \(J_1=[x_1,x_2]\)，\(J_2=[x_2,x_3]\)，套用上面的定理容易知道存在 \(t\) 使得 \(f(f(t))=t\)，且 \(t \in J_1\)、\(f(t) \in J_2\)。如果 \(f(t)=t\)，则 \(t=x_2\)，显然是倒闭了的。
接着对于 \(n \ge 4\) 进行讨论。记 \(J_{1,2,\cdots,n-1}=[x_2,x_3]\)，\(J_{n}=[x_1,x_2]\)。那么存在 \(t_i\) 使得 \(t_{i+1}=f(t_i)\) 且 \(t_i \in J_i\)。那么 \(t_1\) 有周期 \(n\)，需要证明，不存在更小的周期。而这个实际上是显然的——我们一定是若干环，会在 \(t_{d+1}\)（\(d \mid n\)）提前进入 \(t_1\)。那么就不可能得到 \(t_{n} \in J_{n}\) 了——除非是 \(t_n=x_2\)，而这个显然不可能出现。
Li-Yorke 定理实际上是 Sharkovsky 定理的特殊情况。Sharkovsky 定义了正整数的偏序关系：
如果存在 \(x\) 周期点，且 \(x\) 偏序 \(y\)，则存在 \(y\) 周期点。
说一下最后 \(2\) 的幂次如何证明：只需处理 \(4 \to 2\)，其他归纳。而 \(4 \to 2\) 枚举一个周期轨的形态即可。
设 \(f:I \to I\) 满足：1. \(f\) 周期点的最小周期不存在上界；2. 存在不可数子集 \(S\) 满足 \(\forall x,y \in S\) 且 \(x \neq y\)，\(\limsup_{n \to \infty}|f^n(x)-f^n(y)| > 0\) 且 \(\liminf_{n \to \infty} |f^n(x) -f^n(y)|\)，则称 \(f\) 描述了一个混沌系统。
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