数学分析（上册）简单记录 I
上学期不去预科，所以自学的，根本学不明白。
\(\rm Chapter \ 1\). 实数和数列极限
\(\S 1.1\) 实数
Dedekind 分割：将 \(\mathbb Q\) 分割为集合 \(A\) 和 \(A'\)，满足：\(A,A' \neq \varnothing\)，\(A \cup A' = \mathbb Q\) 且 \(\forall x \in A,y \in A'\)，\(x<y\)。根据有理数的稠密性，不存在一种分割使得 \(A\) 存在最大数且 \(A'\) 存在最小数。如果两个不存在同时成立，就定义了一个无理数。
Dedekind 基本定理：对实数集 \(\mathbb R\) 做上述分割，则存在实数 \(\alpha\) 等于 \(A\) 的最大数或者 \(A'\) 的最小数。利用这个基本定理可以证明确界原理和 Cauchy 收敛原理。
\(\sqrt n\) 对于非完全平方数的 \(n\) 是无理数可以通过无穷递降法证明。
\(\S 1.2\) 数列和收敛数列
对于数列 \(\{a_n\}\) 以及实数 \(a\)，若对 \(\forall \epsilon > 0\)，都存在正整数 \(N\) 使得 \(\forall n > N\)，\(|a_n-a| < \epsilon\) 称 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\)，记作 \(\lim_{n \to \infty} a_n = a\)，称 \(a\) 是 \(\{a_n\}\) 的极限。如果存在这样的 \(a\) 称数列发散。
最基础的极限证明就是在那瞎放缩。
\(\S 1.3\) 收敛数列的性质
如果数列 \(\{a_n\}\) 收敛，则其极限唯一。反证法容易证明。
如果存在 \(A\) 使得 \(a_n \le A\) 恒成立，则称 \(\{a_n\}\) 有上界。同理定义下界。如果同时拥有上界和下界，称数列 \(\{a_n\}\) 是有界的。
显然，收敛数列是有界的。
在数列 \(\{a_n\}\) 中找到一个无穷的子序列，称为子列。如果 \(\{a_n\}\) 收敛与 \(a\)，则任意一个子列也收敛于 \(a\)。
极限的四则运算：设 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 都是收敛数列，且分别收敛于 \(a\) 和 \(b\)。则：
- \(\{a_n \pm b_n\}\) 收敛且收敛于 \(a \pm b\)；
- \(\{a_n b_n \}\) 收敛且收敛于 \(ab\)；
- 如果 \(b_n \neq 0\) 且 \(b \neq 0\)，则 \(\{\frac{a_n}{b_n}\}\) 收敛且收敛于 \(\frac{a}{b}\)。
第二点证明的核心是：收敛数列必定有界，那么可以根据界通过不等式控制；第三点证明的核心是：先证明 \(\frac{1}{b_n}\) 收敛于 \(\frac{1}{b}\) 再利用第二点。
如果一个数列的极限是 \(0\)，称之为无穷小。如果 \(\{a_n\}\) 无穷小，\(\{b_n\}\) 有界，则 \(\{a_nb_n\}\) 为无穷小。
夹逼原理：如果 \(a_n \le b_n \le c_n\) 对 \(n > N\) 的所有 \(n\) 成立，且 \(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = A\)，则 \(\lim_{n \to \infty} b_n = A\)。在计算极限的时候，可以将其放缩为两个序列再计算极限。
Toeplitz 定理：\(\forall n,k \in \mathbb{N}_+\)，\(t_{n,k} \ge 0\) 且 \(\sum_{k=1}^n t_{n,k} = 1\)，\(\lim_{n \to \infty} t_{n,k} = 0\)。如果 \(\lim_{n \to \infty} a_n= a\)，令 \(x_n = \sum_{k=1}^n t_{n,k} a_k\) 则：\(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)。
证明：不妨设 \(a=0\)。对于 \(\forall \epsilon > 0\)，存在 \(N\) 使得 \(\forall n > N\) 有 \(|a_n| < \frac{\epsilon}{2}\)，则：
令 \(n \to + \infty\)，前一个求和号是有限个无穷小之和，可以找到 \(N_1 > N\) 使得 \(n>N_1\) 时上式 \(< \frac{\epsilon}{2}\)。则 \(n > N_1\) 时，\(|x_n| < \epsilon\)。
利用这个定理可以处理很多极限问题。
\(\S 1.4\) 数列极限的推广
如果数列 \(\{a_n\}\) 满足：任意整数 \(A\)，存在正整数 \(N\) 对 \(\forall n>N\) 有 \(a_N > A\)，那么称 \(\{a_n\}\) 趋向于正无穷大 \(+\infty\)，即 \(\lim_{n \to \infty} a_n = + \infty\)。同理定义负无穷大。两种情况都称 \(\{a_n\}\) 为无穷大。
无穷大数列必定无界，同理可以定义无穷大之间的加减运算。本质上将 \(\mathbb R\) 扩充为 \(\mathbb R \cup \{+\infty,-\infty\}\)。
\(\S 1.5\) 单调数列
如果数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_n \le a_{n+1}\) 恒成立，那么称 \(\{a_n\}\) 是递增数列（如果始终不等，称为严格递增数列）。同理定义递减数列和严格递减数列。
重要定理：单调且有界的数列一定有极限。这本书（中科大第三版）的逻辑是：将这个定理类似“公理”去使用，用它证明确界原理。而在使用 Dedekind 基本定理证明了确界原理后，很容易证明这个定理。
书中证明为，考虑将 \(a_n\) 写成十进制小数，利用进制位构造一个新的可以被证明收敛的数列。
这种定理是“存在性”的，不能为计算极限提供便利。
闭区间套定理：设 \(I_n = [a_n,b_n]\) 为闭区间，且 \(I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots\)，且 \(|I_n| = b_n - a_n \to 0\)，则 \(\cap_{n=1}^{+\infty} I_n\) 含有唯一点。
考虑 \(a_n\) 和 \(b_n\) 的收敛情况易得。
注意，开区间并不满足这条定理。
\(\S 1.6\) 自然对数的底 \(e\)
本节涉及到两个比较常见的数列：\(e_n=(1+\frac{1}{n})^n\) 和 \(s_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i!}\)。
容易证明，\(s_n\) 单调且有界，\(e_n < s_n\) 恒成立且 \(e_n\) 是单调的。那么 \(e = \lim_{n \to \infty} e_n\) 和 \(s = \lim_{n \to \infty} s_n\) 均存在，且 \(e \le s\)。
考虑
对于所有的 \(m\) 和 \(n>m\)，我们可以得到：
令 \(n \to +\infty\)，得到 \(e \ge \sum_{i=0}^m \frac{1}{i!}\)。则 \(e \ge s\)，有 \(e=s\)。用 \(e\) 逼近 \(s_n\) 可以得到 \(0 < e-s_n \le \frac{1}{n!n}\)，同时可以证明：\(e\) 是无理数。
称 \(\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e\) 为重要极限，略加变形可以解决很多极限问题。
本节练习题和问题中引出了结果：
对于所有 \(n\)，\(\sum_{i=2}^{n+1} \frac{1}{i} < \ln(n+1) < \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\)，且 \(x_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - \ln(n+1)\) 存在极限 \(\gamma\)，称为 Euler 常数。
\(\S 1.7\) 基本列和 Cauchy 收敛准则
如果实数列 \(\{a_n\}\) 满足：\(\forall \epsilon > 0\)，存在正整数 \(N\) 使得任意正整数 \(m,n>N\) 有 \(|a_m-a_n| < \epsilon\)，那么称 \(\{a_n\}\) 是一个基本列或 Cauchy 列。
有趣的引理：从任一数列中可以取出一个单调子列。
证明：如果项 \(a_n\) 满足：\(\forall m>n\)，\(a_n \le a_m\)，那么称 \(n\) 是关键的。如果有无穷个关键项，那么已经成立；否则取出 \(i_1\) 不是关键项且 \(\ge i_1\) 的都不是关键项，一定能找到非关键项 \(i_2\) 满足 \(a_{i_1} > a_{i_2}\)，以此类推得到一个子列。
Bolzano-Weierstrass 定理（列紧性定理）：任何有界数列必存在收敛子列。
Cauchy 收敛原理：一个数列收敛的充要条件是，它是基本列。
证明：必要性显然，只需要考虑充分性。首先，容易证明这个数列 \(\{a_n\}\) 是有界数列。取出其一个收敛子列 \(\{a_{i_n}\}\)，设收敛于 \(a=0\)，要证明 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\)。我们需要对于 \(\epsilon\) 找到一个 \(N\)。那么首先找到一个 \(N_0\) 使得 \(\forall i_j > N_0\) 有 \(|a_{i_j}| < \frac{\epsilon}{2}\)；其次找到一个 \(N_1\) 将基本列的差控制在 \(\frac{\epsilon}{2}\)。取 \(N = \max(N_0,N_1)\) 即可。
\(\S 1.8\) 上确界和下确界
给定实数集 \(E\)，容易定义 \(E\) 的上界和下界。如果 \(E\) 同时存在上界和下界称之为有界集。
如果 \(E\) 存在上界，且存在 \(\beta\) 满足：\(\forall x \in E\) 有 \(x \le \beta\)，且 \(\forall \epsilon > 0\)，存在 \(x \in E\) 使得 \(x > \beta - \epsilon\)。称 \(\beta\) 为集合 \(E\) 的上确界 \(\sup E\)。同样定义下确界 \(\inf E\)。
确界原理：如果非空集合 \(E\) 存在上界，一定存在上确界；对下确界同理。
证明：首先 \(\sup E = - \inf (-E)\)，所以只需要证明上确界。取 \(\gamma\) 为一个上界，并使用二分法。取 \(x\) 为 \(E\) 中元素，得到答案所在区间 \([l,r]\)。每次取出中点 \(m\)。如果 \([m,r]\) 中有 \(E\) 的元素，答案一定在 \([m,r]\) 中；否则，答案一定在 \([l,m]\) 中。这样得到一系列闭区间套，确定了唯一的点 \(\beta\)。而根据定义，不存在 \(E\) 中元素 \(>r\)，且 \([l,r]\) 中始终有 \(E\) 中元素，所以 \(\beta\) 就是上确界。
这种二分法 + 闭区间套非常重要。
如果 \(E\) 不存在上界，为了形式统一我们定义 \(\sup E = + \infty\)。
\(\S 1.9\) 有限覆盖定理
考虑开区间族 \(\mathcal I\)，如果实数集 \(A\) 满足 \(A \subseteq \cup_{l \in \mathcal{I}} l\)，那么称 \(\mathcal I\) 是 \(A\) 的一个开覆盖。
Heine-Borel 定理（有限覆盖定理）：设 \([a,b]\) 存在开覆盖 \(\mathcal I\)，那么一定可以从 \(\mathcal I\) 中选出有限子集 \(\mathcal C\)，使得 \(\mathcal C\) 是 \([a,b]\) 的一个开覆盖。
证明：使用反证法。如果不行，考虑仍然对 \([a,b]\) 做二分，得到一个闭区间套，确定了位置 \(a \le x \le b\)。注意二分的过程中，得到的 \([a,b]\) 一直不能被有限个区间覆盖。由于 \(\mathcal I\) 是一个开覆盖，一定存在 \((\alpha,\beta) \in \mathcal I\) 使得 \(\alpha < x < \beta\)。而当 \(n \to + \infty\) 时，有 \([a_n,b_n] \subset (\alpha,\beta)\)，矛盾！
上面提到的定理几乎都和“实数系统的连续性”等价。
Lebesgue 定理：设 \(\mathcal I\) 是 \([a,b]\) 的一个开覆盖。则存在 \(\sigma>0\) 使得任意区间 \(A=[c,d] \subset [a,b]\) 且 \(d-c < \sigma\)，就存在 \(\mathcal I\) 中的一个区间包含 \(A\)。这也可以证明有限覆盖定理。
证明：使用反证法。不妨设 \(b-a>1\)。对于每个 \(i\)，选出一个长度为 \(\frac{1}{i}\) 且无法被覆盖的闭区间，并且在中间选择一个 \(x_i\)。显然序列 \(\{x\}\) 是有界的，那么可以找到一个子列收敛到 \(x_0\)。显然对于 \(\forall \epsilon > 0\)，存在无限个选择的闭区间在 \((x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\) 内。显然有开区间包含了 \(x\)，产生了矛盾。
这里使用被覆盖区间 \(A\) 使用闭区间的原因是：如果是开区间不能保证选择的 \(x_0\) 在 \([a,b]\) 内。
\(\S 1.10\) 上极限和下极限
将数列 \(\{a_n\}\) 的所有收敛子列收敛的极限称为 \(\{a_n\}\) 的极限点，所有极限点构成集合 \(E\)。记 \(a^{*} = \sup E\)，\(a_{*} = \inf E\)，称为数列 \(\{a_n\}\) 的上极限和下极限，也记作 \(a^* = \limsup_{n \to \infty} a_n\)，\(a_*=\liminf_{n\to \infty} a_n\)。
定理：\(a^*\) 为满足 \(a^* \in E\) 且 \(\forall x>a^*\) 存在正整数 \(N\) 使得 \(\forall n>N\) 有 \(a_n < x\) 的唯一数。这个定理告诉我们，\(a^*\) 和 \(a_*\) 都作为子个数列的极限存在。
证明是显然的，套用一下上确界的定义即可。但是要注意考虑 \(a^* = + \infty\) 的情况。
有几个非常显然的论断：对于序列 \(\{a_n\}\) 来说，\(\liminf_{n \to \infty} a_n \le \limsup_{n \to \infty} a_n\)，且 \(\lim_{n \to \infty} a_n = a\) 等价于 \(\liminf_{n \to \infty} = \limsup_{n \to \infty} = a\)。如果 \(a_n \le b_n\) 对 \(n>N\) 成立，则 \(\liminf_{n \to \infty} a_n \le \liminf_{n \to \infty} b_n\)，且 \(\limsup_{n \to \infty} a_n \le \limsup_{n \to \infty} b_n\)。
定义数列 \(\beta_n = \sup_{k \ge n} a_k\)。那么 \(\{\beta_n\}\) 是递减数列，且 \(\lim_{n \to \infty} \beta_n = a^*\)。
证明：不妨设 \(a^*\) 是有限数。根据 \(a^*\) 的定义，\(\forall x>a^*\)，存在正整数 \(N\) 使得 \(n>N\) 时 \(a_n<x\)，则 \(\beta_n \le x\)。所以 \(\lim_{n \to \infty} \beta_n \le a^*\)。另一方面，取 \(\{a_n\}\) 的一个子列 \(\{a_{i_n}\}\) 收敛于 \(a*\)。记 \(\beta_n'\) 为只考虑子列中元素的上界，则 \(\beta_n \ge \beta'_n\)。而 \(\lim_{n \to \infty} \beta'_n = a*\)，所以 \(\lim_{n \to \infty} \beta_n \ge a^*\)。即证。
有一个小不等式，可以估计上下极限： \(\liminf_{n \to \infty} a_n+\liminf_{n \to \infty} b_n \le \liminf_{n \to \infty} (a_n+b_n) \le \liminf_{n \to \infty} a_n + \limsup_{n \to \infty} b_n\)。
\(\S 1.11\) Stolz 定理
终于把这一章完结了。
Stolz 定理（\(\frac{\infty}{\infty}\) 型）：设 \(\{b_n\}\) 是严格递增且 \(\lim_{n \to \infty} b_n = + \infty\)。如果 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}} = A\)，则 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = A\)。
证明：这实际上是容易的。定义 \(c_n = \frac{a_n}{b_n}\)。对于 \(\epsilon >0\)，取 \(N\) 使得 \(n >N\) 时 \(A-\epsilon < \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}} < A + \epsilon\)。这样容易得到：\((A-\epsilon)(b_n-b_N) < a_n-a_N < (A+\epsilon) (b_n-b_N)\)。略加整理得到
令 \(n \to +\infty\)，可以得到 \(A - \epsilon \le c_n \le A+\epsilon\)。则 \(A-\epsilon \le \liminf_{n \to \infty} c_n \le \limsup_{n \to \infty} c_n \le A+\epsilon\)。则 \(\lim_{n \to \infty} c_n = A\)。即证。注：我认为这么写并不严谨，应该再引入一个极小量，但是书上是这么写的我就贺过来了。
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