Something-Summary
1.Combinatorial Mathematics
1.1 Bell Number:
\(B_n\)表示元素个数为n的集合划分成若干个不相交集合的方案数。
\(B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^n C(n,k)B_k\).
1.2 Catalan Number:
递推公式: \(h_1 = 1, h_n = \frac{h_{n-1}(4n-2)}{n+1}\).
组合数公式:\(h_n = \frac{C(2n,2)}{n +1} = C(2n,n) - C(2n,n+1)\).
前n项: 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58768
长度为\(n\) 的合法括号匹配为\(h_{n}\), 有 \(n+1\) 个叶子节点的二叉树的形态有 \(h_{n}\) 个.
convex polygon with \(n + 2\) sides can be cut into triangles in \(h_{n}\) different ways.
1.3 Cayley's Theorem:
所有群G同构于在G上的对称群的子群。
拓展版本:对于\(n\) 个点, \(m\)个连通块,每个连通块\(a[i]\)个点,用\(s-1\)条边连通的方案数为\(n^{s-2}a[1]a[2]...a[m]\)。
n个节点(有标号)的树的形态个数为\(n^{n-2}\).。
1.4 Jacobi's Four Square Theorem
设 \(a^2 + b^2 + c^2+d^2 = n\) 的自然整数解的个数为\(r4(n)\), \(d(n)\)为n的约数和,由Jacobi's Four Square Theorem可知,若n是奇数,则\(r4(n) = 8d(n)\), 否则\(r4(n) = 24d(k)\), \(k\)为 \(n\) 去除所有 \(2\) 后的结果。
1.5 Balls and Boxes
k个球 | m个盒子 | 是否允许空盒子 | 方案数 |
---|---|---|---|
各不相同 | 各不相同 | 是 | \(m^k\) |
各不相同 | 各不相同 | 否 | \(m!stirling2(k,m)\) |
各不相同 | 完全相同 | 是 | \(\sum_{i=1}^{m}Stirling2(k,i)\) |
各不相同 | 完全相同 | 否 | \(Stirling2(k,m)\) |
完全相同 | 各不相同 | 是 | \(C_{m + k - 1}^{k-1}\) |
完全相同 | 各不相同 | 否 | \(C_{k-1}^{m-1}\) |
完全相同 | 完全相同 | 是 | \(\frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}\) |
完全相同 | 完全相同 | 否 | \(\frac{x^m}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^3)}\) |