20250405概率期望dp课堂笔记

概率期望 dp

概率论

\(\Omega\)：样本空间，所有基本事件的集合。基本事件指不可再分的事件。

\(\mathcal F\)：事件集合。

1. \(\Phi\in\mathcal F\)
2. ？？？
3. ？？？

公式

• 加法：\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)。
• 减法：\(P(A-B)=P(A)-P(AB)\)。
• 对立事件：\(P(A)+P(\overline A)=1\)。
• 条件概率：\(P(A|B)={P(AB)\over P(B)}\)。表示 B 发生前提下 A 发生概率。
• 全概率公式：对 \(\cup B=\Omega\) 有：\(P(A)=\sum\limits_{i=1}^mP(AB_i)=\sum\limits_{i=1}^mP(A|B_i)P(B_i)\)。

期望

线性性。

题

很多简单题。

P10868

等价于计算每个位置系数，发现每个位置的系数只与相对位置有关。设 \(f_{i,j}\) 表示左边有 i 个右边有 j 个位置的系数，然后分类讨论地推，化简考虑组合意义，最后 \(O(n)\)。

P10879

考虑 x 在链上的概率，于是可以去寻找 u 是 x 祖先的概率。于是 dp 求解，时间复杂度 \(O(n^2+nm)\)。

还有更有趣的做法，但是在此不赘述。

P11030

把每次接一个 S 看成在 S 上往前跳，然后就可以 dp 了，但是复杂度不对，所以需要换一下枚举顺序，然后前缀和优化。

P11658

牛逼题。

P11626

牛逼题。