20250207数论课堂笔记

欧几里得算法

\(f,g,h\) 函数。

解法：先取模，然后写成合式拆。

具体一点是把 \(n\) 替换成 \(km+r(r<k)\) 的形式，然后整块的部分和散块的分开做，这就有些类似递归。

对于每一个小部分，我们想通过转换合式的方法化简式子，于是把一个数 \(n\) 拆成 \(\sum\limits_{i=1}^{n}1\) 的形式。后面就转换成更小的数然后化简。

欧拉定理

exgcd。

扩欧。

筛

莫反相关

一些常见积性函数以及一点点卷积。

一点简单题。

杜教筛

构造 \(g\)，将其与 \(f\) 卷积。需满足 \(f\ast g\) 是一个能够快速求解的东西且 \(g\) 也能快速求解。然后把含 \(\sum\) 式子拆开移项化简。

复杂度：

\[\begin{aligned} T(n)&=T_0(m)+\sum_{k>m}T(k)\\ &=T_0(m)+\sum_{k=1}^{n/m}O(\sqrt{n\over k})\\ &= O(T_0(m)+\int_{0}^{n/m}\sqrt{n\over x}dx)\\ &=O(m+{n\over\sqrt m}) \end{aligned} \]

均值不等式得：\(m=n^{2/3}\) 时，\(T(n)=O(n^{2/3})\)。

因为有 \(\mu\ast1=\epsilon\)，还有 \(\varphi\ast1=id\)。

例子：P3768

\(f=\varphi\times id^2\)，构造 \(g=id^2\)，可得 \(h=f\ast g=n^2\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n^3\)。

考虑点乘有类似分配律的性质，于是就可以考虑以下两类和组：

• \(\mu\times id^k\)
• \(\varphi\times id^k\)

它们同时卷上 \(id^k\) 后可以先把 \(id^k\) 写成 \(id^k\times1\) 然后提出公因式。

PN 筛

pn 性质：

1. pn 可以写成 \(a^2b^3\) 的形式。
2. \(n\) 以内的 pn 个数为 \(O(\sqrt n)\) 个。

证明：通过枚举 \(a\) 来确定 \(b\) 的个数，有：

\[\int_1^\sqrt n\sqrt[3]{n\over x^2}dx=O(\sqrt n) \]

球 pn 的方法：先筛出 \(\sqrt n\) 内的质数然后 dfs。

找一个 \(g\) 满足：

• \(g\) 是积性函数。
• \(g\) 易求前缀和。
• 对于质数 \(p\) 有 \(g(p)=f(p)\)。

我们考虑去构造 \(h=f/g\)，此处 \(/\) 指的是狄利克雷卷积的除法，所以 \(h\) 也是积性函数。

因此有 \(h(1)=1\)，并且对 \(p\in prime\) 有 \(f(p)=g(1)h(p)+g(p)h(1)=h(p)+g(p)\)，所以 \(h(p)=0\)，进而得出对于非 pn 数的所有 \(n\) 有 \(h(n)=0\)。

然后开始推式子：

\[\begin{aligned} F(n)=\sum_i^nf(i)&=\sum_i^n\sum_{d|i}h(d)g({i\over d})\\ &=\sum_{d=1}^nh(d)\sum_{i=1}^{\lfloor{n\over d}\rfloor}g(i)\\ &=\sum_{d\in PN\vee d\le n}h(d)G({\lfloor{n\over d}\rfloor}) \end{aligned} \]

其中 \(G\) 可以快速地算，我们需要求解 \(h(p^c)\)。

有两种可选择方案：

1. 用仅与 \(p,c\) 有关的式子得出。
2. 用 \(f,g\) 推出。

对于第二种，将 \(p^c\) 代入得到：\(h(p^c)=f(p^c)-\sum_{i=1}^cg(p^i)h(p^{c-i})\)。

然后暴力求解就行，时间复杂度 \(O(\sqrt n\log n)\)。

\(\text{Stern-Brocot}\) 树

就是一直迭代，对于每次迭代，对于任意相邻项 \({a\over b},{c\over d}\)，在中间插入 \(a+c\over b+d\)。

有两个重要性质：

• 最简性：就是最简分数。
• 完全性：能够搜出所有最简分数。

证明最简性：

将树上每个点看成矩阵，对于 \(a+c\over b+d\)，我们可以看做：

\[S= \begin{pmatrix} b&d\\a&c \end{pmatrix} \]

考虑归纳证明。若 \({a\over b}\) 已经得到证明是最简分数，有 \(a\perp b\)，现在尝试证明 \(c\perp d\)。

我们尝试把每次迭代的操作写成两种矩阵：

\[L= \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}, R= \begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix} \]

因为 \(S\) 由若干 \(L,R\) 组成，所以 \(\det(S)=\det(L)=\det(R)=1\)，进而有：\(bc-ad=1\)，于是得到 \(c\perp d\)。

备注

1. 下来重推一下“循环之美”。

2. 复习 pn 筛。