Day14

从“找环”问题入门：并查集（Union-Find）的高效应用与实现

在算法世界里，处理“元素连通性”相关问题时，总有一种数据结构能凭借其极致的效率脱颖而出——它就是并查集（Union-Find）。无论是判断图中是否存在环，还是计算连通分量的数量，并查集都能以接近线性的时间复杂度完成操作，成为程序员必须掌握的“效率利器”。今天，我们就从经典的“图中找环”问题切入，拆解并查集的核心逻辑、代码实现与优化技巧。

一、问题背景：为什么需要并查集？

先看一个典型场景：给定一组节点和若干条连接节点的边，每次添加一条边时，需要判断这条边是否会让图中形成环。如果直接用暴力遍历（如DFS/BFS）判断连通性，每次查询的时间复杂度是O(n)，当数据规模达到10^5甚至更大时，效率会急剧下降。

而并查集恰好解决了这个痛点：它通过“查找（Find）”和“合并（Union）”两个核心操作，将每次查询和合并的时间复杂度优化到近乎O(1)（得益于路径压缩和按秩合并），即使面对大规模数据也能轻松应对。

二、并查集核心思路：“找根”与“合并”

并查集的本质是管理“元素所属集合”，用“根节点”代表一个集合——就像每个家族都有一个族长，判断两个人是否同宗，只需看他们的族长是否相同；合并两个家族，只需让其中一个族长认另一个为族长。

对应到“找环”问题，逻辑非常清晰：

1. 初始时，每个节点都是一个独立的集合（自己是自己的根节点）。
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2. 每次输入一条连接节点u和v的边，先通过“查找”操作确定u和v的根节点。
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3. 如果根节点相同，说明u和v早已连通，添加这条边会形成环，输出“No”。
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4. 如果根节点不同，说明u和v分属不同集合，将两个集合“合并”，输出“Yes”。