AtCoder Regular Contest 185

保龄选手来写下记录。

A

由于 \(N < M\)，所有 \(i\) 在模 \(M\) 意义下互不相同。

这说明如果一个人至少有两张牌，当前回合一定不会输。

设 \(b\) 为 Bob 的最后一张牌。

Alice 打出最后一张牌后局面达到 \(N(N + 1) - b\)。当且仅当 \(b \equiv N(N + 1) \pmod M\)，Bob 胜。

设 \(c = N(N + 1) \bmod M\)

1. \(c \in [1, N]\)。

   如果 Bob 一直将 \(c\) 保留到最后，他就赢了。

   • Bob 手中牌数 \(\ge 3\)。

     可以用除 \(c\) 外的另外两张来保证自己不会输。

   • Bob 手中牌数等于 \(2\)。

     设 Alice 打出最后一张牌为 \(a\)。

     则 Bob 倒数第二轮不打 \(c\) 能达到的局面为 \(N(N + 1) - a - c \equiv -a\not\equiv 0\)，不会输。

2. \(c \notin [1, N]\)，无论如何 Bob 都不会赢。

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B

定义一个非降序列是「好的」当且仅当序列极差不大于 \(1\)。

结论：答案合法当且仅当他能操作为一个好的序列。

充分性：好序列也是非降的。

必要性：任意非降序列都能操作为一个好序列：

• 每次找到靠的最近 \(i < j\) 满足 \(A_j - A_i \ge 2\)，一定有 \(A_i < A_{i + 1}\)，否则 \(i + 1\) 更靠近 \(j\)，同理 \(A_{j - 1} < A_j\)。
• 操作后仍然满足 \(A_{i}^{\prime} \le A_{i + 1} \le \cdots \le A_{j - 1} \le A_j^{\prime}\)。
• 不断操作直到找不到 \(i, j\)（极差不大于 \(1\)）。

最后能转化为的好的序列是唯一确定的，设为 \(B\)。

记 \(a_i = \sum_{j = 1}^iA_j,\ b_i = \sum_{j = 1}^i B_j\)。

非法当且仅当存在 \(a_i > b_i\)：

一次操作 \(i, j\) 会使 \([i, j)\) 的前缀和加一，\((j, n]\) 的前缀和不变，即始终满足 \(\forall i,\ b_i \ge a_i\)。

必要性显然，考虑充分性。

不妨将一次操作当成 \(B\) 前缀和上的区间加，如果任意 \(b_i \ge a_i\)，最朴素的构造即对 \((i, i + 1)\) 操作 \(b_i - a_i\) 次。

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C

记 \(f(x) = \sum [A_i = x],\ g(x) = \sum[i < j \land A_i + A_j = x]\)。

\(g\) 可以通过 \(f * f\) 再减掉点东西得到。

枚举 \(1 \le i \le n\)，判断是否存在 \((j, k),\ j < k\) 对使得：

• \(i \ne j \land i \ne k\)。
• \(A_i + A_j + A_k = X\)。

一旦我们知道 \((j, k)\) 是否存在，即可用 \(O(N)\) 的时间找到一组解（枚举 \(j\)，至多枚举三个 \(A_k = X - A_i - A_j\)）。

考虑计算 \((j, k)\) 的个数：

\[g(X - A_i) - \left(f(X - 2A_i) - [3A_i = X]\right) \]

即所有 \(j < k,\ A_j + A_k = X - A_i\) 的方案减去 \(i\) 为其中之一的方案。

时间复杂度 \(O(N + V\log V)\)。（NTT模数取1374389534721）

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D

不妨先考虑 \(M = 1\)。

把一次「根 \(\to\) 叶子 \(\to\) 根」称为一轮循环。我们显然是要求走完所有叶子的期望步数。

假设当前已经走过 \(i\) 片叶子，到一个新叶子需要走期望 \(\frac{N}{N - i}\) 轮。

最后答案即 \(2\left(\sum_{i = 0}^{N - 1} \frac{N}{N - i}\right) - 1\)，减 \(1\) 是因为最后一片叶子不需要回到根。

考虑一般的 \(M\)，我们仍然只关心叶子的覆盖情况。

设 \(e\) 表示从根随机游走到一片叶子的期望步数，答案可以简单的表示为 \(e\left(2\left(\sum_{i = 0}^{N - 1} \frac{N}{N - i}\right) - 1\right)\)。

问题抽象为：深度从 \(i = 0\)，每次等概率使 \(i \to i + 1\) 或 \(i \to i - 1,\ (i > 0)\)，第一次 \(i = M\) 的期望步数。

设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 期望向 \(i + 1\) 走了多少步，\(g_{i}\) 表示 \(i + 1\) 期望向 \(i\) 走了多少步。

那么 \(e = \sum f_i + g_i\)。

对于任意 \(i\)，有 \(f_i = g_i + 1\)。

对于 \(i = M - 1\)，有 \(f_i = 1,\ g_i = 0\)。

对于 \(i \in [1, M - 1]\)，每个点等概率决策是往上还是往下，因此 \(g_{i - 1} = f_i\)。

可以递推出 \(f_i = M - i,\ g_i = f_i - 1\)，\(e = M^2\)。

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E

首先有朴素 DP：

\[f_i = \sum_{j = 1}^{i - 1}f_j + 2^{j - 1}\gcd(a_i, a_j) \]

注意到

\[\begin{aligned} \gcd(n, m) &= \sum_{d \mid \gcd(n, m)} \varphi(d)\\ \\ &= \sum_{d \mid n \land d \mid m} \varphi(d)\\ \\ &= \sum_{d \mid n} [d\mid m]\varphi(d)\\ \end{aligned} \]

\(f\) 部分先不管，最后加一个前缀和即可：

\[\begin{aligned} &= \sum_{j = 1}^{i - 1}2^{j - 1}\sum_{d\mid a_i} [d \mid a_j]\varphi(d)\\ \\ &= \sum_{d\mid a_i}\varphi(d) \sum_{j = 1}^{i - 1}[d \mid a_j]2^{j - 1}\\ \end{aligned} \]

同时维护 \(g(d) = \sum_{d\mid a_j} 2^{j - 1}\)，时间复杂度 \(O(V\ln V + Nd(V))\)。

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