20240926：图论选做

Upgrading Cities

题意：给定一张 DAG，求关键点个数。点 \(u\) 是关键点当且仅当满足 \(u \to v\) 不连通且 \(v \to u\) 不连通的点 \(v\) 数量不大于 \(1\)。

考虑拓扑排序的过程。

一个很重要的性质：当前队列里所有点两两不连通，因为只有一个点出队他的后继点才可能入队。

还有 DAG 本身的性质：存在 \(u \to v\) 和存在 \(v \to u\) 至多满足其中一个，否则有环。

设当前队列为 \(Q\)，取出队头 \(u\)：

• \(u\) 不能到达在他之前入队的点，只有一个点出队他的后继点才可能入队。

• \(\vert Q\vert = 0\)，剩下点都直接或间接与 \(u\) 相连。

• \(\vert Q\vert \ge 2\)，\(u\) 已经不可能产生条件了。

• \(\vert Q\vert = 1\)，设队列中仅剩元素为 \(v\)。对于剩下的点 \(w\)，他至少能被 \(u, v\) 中的一个到达。

  • 所有 \(w\) 能被 \(u\) 到达。
  • 存在 \(w\) 不能被 \(u\) 到达，那么 \(v\) 能到达 \(w\)。条件等价于存在 \(\deg^- (w) = 1\) 且 \((v, w) \in E\)。

这个等价条件可以反证法推出。

如果存在 \(\deg^- (w) = 1\land(v, w) \in E\)，显然 \(u\) 不能到达 \(w\)，\(w\) 也不能到达 \(u\)（如果能到达 \(w\) 会在 \(u\) 之前入队）。

否则把 \(u, v\) 的边删去后所有新图的「源点」\(w\) 都与 \(u\) 有边相连，也就是说 \(u\) 能到达除 \(v\) 外的所有剩余点。

正反做一遍拓扑排序，时间复杂度 \(O(n + m)\)。submission

[ABC336G] 16 Integers