CSP2024-16

A

题意：交互题。\(n\) 个人，每人有一个颜色。你每次可以询问一个集合中不同颜色数量。

最后输出每个人的颜色，只需保证相同的相同，不同的不同。\(n \le 150\)，交互次数不超过 \(3500\)。

考虑在区间 \([l, r]\) 找到与 \(x\) 颜色相同的编号最小的元素。

怎么判断 \(x\) 有没有在一个集合中出现过？先查询这个集合，在查询这个集合并上 \(x\)，比对两者是否相同。

思路很清晰了，如果在 \([l, mid]\) 出现，递归左区间；否则递归右区间。只需要区间长度对数次询问。

对于 \(i\) 找到对应的 \(ne_i\)，然后把相同颜色的一条链都找到。询问次数 \(O(n\log n)\) 可以通过。submission

B

题意：\(n\) 个点的有向图，每个点可能为黑色或白色，只存在编号小的连向编号大的。

定义一条路径合法当且仅当这条路径上不存在两个颜色相同的节点相邻。

现在给出部分点的颜色，求合法路径数为奇数的图的个数。\(n \le 2\times 10^5\)。

设 \(f(i, x, y)\) 表示考虑了前 \(i\) 个点，有 \(x\) 个黑点有奇数条路径以他结尾，\(y\) 个白点有奇数条路径以他结尾的图的数量。

考虑加入第 \(i + 1\) 个点，不妨设他是黑色的。

设 \(c(n, 0/1)\) 表示 \(n\) 个点钟选偶数/奇数个的方案数，显然有 \(c(0, i) = [i = 0],\ c(n, i) = 2^{n - 1}\)。

我们只需要考虑有多少个路径数为奇数的白点连向了 \(i + 1\)，其他点对 \(i + 1\) 的奇偶性无影响，可以随便连。

\[\begin{aligned} f(i + 1, x, y) &\gets f(i, x, y) \times c(y, 1) \times 2^{i - y}\\ \\ f(i + 1, x + 1, y) &\gets f(i, x, y) \times c(y, 0) \times 2^{i - y} \end{aligned} \]

时间复杂度 \(O(n^3)\)，考虑优化。

观察到对于非零整数 \(y\)，\(c(y, 0/1) \times 2^{i - y} = 2^{i - 1}\) 只与 \(i\) 有关，需要记录的状态只有 \(x, y\) 的奇偶性以及 \(x, y\) 是否为 \(0\)。

时间复杂度 \(O(n)\)。submission

C

题意：定义长度为 \(k\) 的序列 \(A\) 的权值等于不同的前缀最大值个数，记为 \(q(A)\)。

给定一个长度为 \(n\) 的排列 \(B\)，记他的一个子序列为 \(C\)，求所有 \(q(C)\) 的 \(m\) 次方之和。\(n \le 10^5, m \le 20\)。

\(m\) 很小，不难想到普通幂转下降幂：

\[\begin{aligned} \sum_{C \subseteq B} q(C)^m = \sum_{C \subseteq B} \sum_{k = 0}^m \begin{pmatrix}q(C)\\k\end{pmatrix} k! \begin{Bmatrix}m\\k\end{Bmatrix} \end{aligned} \]

其中 \(\begin{pmatrix}q(C)\\k\end{pmatrix}\) 表示所有最大值中选了 \(k\) 个的方案数。不妨先选出一个严格上升子序列作为最大值，再在中间填数。

设 \(f(i, j)\) 表示 \(1 \sim i\) 选了 \(j\) 个最大值，且恰好选了第 \(i\) 个的合法子序列个数。

\[f(i, j) = \sum_{k < i\land B_k < B_i } f(k, j - 1)\times 2^{\sum_{l = k + 1}^{i} [B_l < B_i]} \]

最后统计答案时有 \(\sum_{C}\begin{pmatrix}q(C)\\k\end{pmatrix} = \sum_{i} f(i, k) \times 2^{n - i}\)，复杂度瓶颈在于 f 的转移。

我们可以根据 j 一层一层 dp，考虑加入 \(l\)：对 \(B_i > B_l\) 的已经统计的答案产生 \(2\) 的系数；把 \(f(l, j - 1)\) 加给 \((B_l, n]\)。

submission

D

到底什么时候开始补网络流呢？