01背包

01背包

使用01背包能得到限定条件下的最优价值。

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01背包的第一要点是一般有两个状态量，一是背包容量，二是价值。二者都是根据题目需要定义出来的。相应的，要装入“背包”的“物体”具有重量和价值。

 

dp[i][j]，w[i]，v[i]

（dp[i][j]为在第i个物体下背包容量为j的最大价值，w[i]为物体质量，v[i]为物体价值。）

 

如何将物体装入背包，就涉及到01背包的第二个要点——递推时决策当前物体装还是不装。

如果装这个物体，那么就要做到当前背包总容量是刚好满的（贪心条件下容量越满装的价值必定越多 ），

所以就要从上一个物体递推的结果中，找到背包装的质量加上要装的物体的质量刚好等于当前背包容量。

 

　　dp[i-1][j-w[i]]+v[i]

　　（但是要注意j要大于等于当前物体质量）

 

 

这只是得到了装这个物体时能得到的最大的结果，还要判断这个价值够不够大，可以不可以覆盖上一个物体在这个背包质量的值（假设现在求价值最大可以为多少）。

如果这个值不够大，就选择不装，直接将上一个物体在这个背包质量的值挪过来填进去。

 

两个步骤可以用一个语句完成:

　　dp[i][j]=max(dp[i][j],d[i-1][j-w[i]]+v[i]);

 

最终核心代码如下:

　　for(int i=1;i<=n;i++){

    　　for(int j=w[i];j<=m;j++){

            　　dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]);

   　　 }

　　}

 

如果发现使用一个二维数组空间太大了，可以把dp[i][j]优化成dp[j]，因为递推时只需回溯到当前物体的上一个物体，那么一维的数组就足够往下递推了

核心代码如下

　　for(int i=1;i<=n;i++){

    　　for(int j=m;j>=w[i];j--){

            　　dp[j]=max(dp[[j-w[i]]+v[i],dp[j]);

    　　}

　　}

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要注意一维数组和二维数组在第二个for循环中j的顺序刚好相反

　　for(int j=w[i];j<=m;j++)//二维数组正序

　　for(int j=m;j>=w[i];j--)//一维数组逆序

原因如下

二维数组正序：每个 dp[i][j] 仅依赖上一行数据，同行的计算互不干扰需要回溯方案

一维数组逆序：防止 dp[j-w] 被当前轮的更新覆盖（若正序会重复选物品）仅求最大价值

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选择递推物体的顺序可以不用管

因为无论先遍历哪个物品，动态规划会穷举所有可能的组合，最终 dp[i][j] 必然收敛到全局最优解。中间状态可能不同，

但结果一致，就像先喝汤在吃饭与先吃饭再喝汤的关系，顺序不同但总共还是吃这么多