「NOTE」常系数齐次线性递推

要不是考到了，我还没发现这玩意我不是很会……

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# 前置

• 多项式取模；
• 矩阵快速幂。

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# 常系数齐次线性递推

描述的是这么一个问题，给定数列 \(c_1,c_2,\dots,c_k\) 以及数列 \(f\) 的前 \(k\) 项 \(f_0,f_1,\dots,f_{k-1}\)，已知 \(f\) 有如下递推公式：

\[\begin{aligned} (n\ge m)&&f_{n}=\sum_{i=1}^kc_if_{n-i} \end{aligned} \]

求 \(f_n \bmod 998244353\)，其中 \(n\) 可以很大，\(k\) 是 \(10^5\) 左右的数。

• 常系数：递推式的系数 \(c_i\) 均为常数；
• 齐次：这意味着递推式没有常数项（如果有常数项就别想了）；
• 线性：\(f_i\) 的指数都为 \(1\)。

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# 算法原理

对于这种系数为常数的问题，我们有一个通用的解法 —— 矩阵快速幂：

\[\begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n + 1}\\\vdots\\f_{n + k - 1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c_k&c_{k - 1}&c_{k - 2}&\cdots&c_1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}f_{n - 1}\\f_{n}\\\vdots\\f_{n + k - 2}\end{bmatrix} \]

记最后那个 \(k\times k\) 的转移方阵为 \(A\)，初始列向量为 \(St\)。常规的计算方法即计算

\[A^n\times St \]

复杂度 \(\mathcal O(k^3\log n)\)，主要的瓶颈在于矩阵乘法。

下面要介绍的算法给出了这样一种构造，其中 \(\{c_i\}\) 是针对 \(A^n\)（注意不仅与 \(A\) 有关，还与指数 \(n\) 有关）构造的数列 ——

\[\begin{aligned} &A^n=\sum_{i=0}^{k-1}c_iA^i\\ &A^n\times St=\sum_{i=0}^{k-1}c_iA^i\times St \end{aligned} \]

目前看来好像没有什么茄子用，仍然需要计算矩乘。但是我们真的需要 \(A^n\times St\) 这整个向量吗？实际上我们只需要 \(f_n\)，即 \(A^n\times St\) 的第一项。

再看看这个式子就可以发现它的用处了：

\[(A^n\times St)_1=\sum_{i=0}^{k-1}(c_iA^i\times St)_1=\sum_{i=0}^{k-1}c_i(A^i\times St)_1 \]

\(A^i\times St\) 的实际意义是将 \(St\) 转移 \(i\) 次。所以 \((A^i\times St)_1=f_i\)，也即

\[f_n=\sum_{i=0}^{k-1}c_if_i \]

这样就免去了矩乘。

这就是这个算法的全部内容了？还剩下一个问题，\(\{c_i\}\) 怎么构造？

定义函数 \(C(x)\) 如下，则要求 \(C(A)=A^n\)。

\[C(x)=\sum_{i=0}^{k - 1}c_ix^i \]

接下来是一些魔法……如果我们有函数 \(F(x)\) 满足

\[F(A)=\sum_{i=0}^{k}f_iA^i=0 \]

且有 \(G(x)\) 满足：

\[x^n=G(x)F(x)+C(x)\to C(x)=x^n\bmod F(x) \]

易得

\[A^n=G(A)F(A)+C(A)=C(A) \]

利用多项式取模对快速幂稍加改造就可以计算 \(C(x)\)。

「稍 加 改 造」

说起来倒也简单，把多项式 $x$ 拿来做快速幂，对 $F(x)$ 取模。

然后我们发现又需要构造 \(F(x)\)……如果要对一个一般的方阵求 \(F(A)=0\) 那确实很难，但常系数齐次线性递推的转移矩阵 \(A\) 因为它的结构特殊，有一个简洁的构造：

• \(f_k=1\)；
• \(f_{i}=-c_{k-i}\)（\(0\le i\lt k\)）。

至于为什么这样构造，就涉及到矩阵的特征向量的内容，和这个算法本身没有太紧的关联。有兴趣的读者可以参考 shadowice1984 的洛谷博客。

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THE END

Thanks for reading!

我也曾 隐约想过 从这世界逃离
因为有无数次 和最优解失之交臂
那时耀眼的自己 定不会轻易容许
骄傲变得同墙角霉菌 不差毫厘

——《我也曾想过一了百了(中文填词)》 By 洛天依

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