「SOL」SurroundingGame(TopCoder)
以前学过的内容，结果现在还是不会……
题面
有一个 \(n\times m\) 的棋盘，你可以花费 \(cost(i,j)\) 的代价在 \((i,j)\) 处放一颗棋子。
如果格子 \((i,j)\) 满足下面条件之一时，你可以得到 \(value(i,j)\) 的收益：
- \((i,j)\) 上有棋子；
- \((i,j)\) 的所有相邻的格子上都有棋子。
求“收益减花费”的最大值。
数据规模 \(n,m\le20\)。
解析
分析题目，大概可以找到下面这些 0/1 变量：
- 格子 \((i,j)\) 是否放格子，记为 \(f(i,j)\)；
- 格子 \((i,j)\) 周围是否都有棋子，记为 \(g(i,j)\)；
假设我们可以不花费任何代价就获得全部收益，再计算最小的“额外损失=花费+损失收益”，即想到最小割模型——二元关系最小割。于是继续分析变量的联系。
这些变量的两两联系也有两类（这里的“联系”指两变量共同影响答案）
-
\(f(i,j)\) 和 \(g(i,j)\)，额外损失表如下：
下 \(f(i,j)\) \ 右 \(g(i,j)\) 0 1 0 \(value\) \(0\) 1 \(cost\) \(cost\) -
\(g(i,j)\) 和相邻格子的 \(f\)，限制就是：如果 \(g(i,j)=1\)，则相邻格子的 \(f\) 也为 \(1\)；可以表示为 \(g(i,j)=1,f(邻)=0\) 的额外损失为 \(+\infty\)。
接下来就是建图，拿出二元关系最小割的模板，割左边表示选 \(0\)，割右边表示选 \(1\)：
对于 \(f(i,j)\) 和 \(g(i,j)\) 的联系：
发现 \(K=e+f=(3)+(4)-(1)-(2)=-value<0\)，需要利用二分图的性质反向，则把 \(g\) 的含义反转，即割 \(c\) 表示选 \(1\)，割 \(d\) 表示选 \(0\)。则新的方程为：
直接解方程可以得到一组较简单的解：\(b=cost,f=value,a=c=d=e=0\)。
对于 \(g(i,j)\) 和相邻的 \(f\) 的联系也可以列出方程：
仍然会发现 \(K=-\infty<0\)，再次利用二分图性质反向，但是 \(g\) 已经反过向了，只能把 \(f\) 反向——注意到方格图的相邻格子连边是天然的二分图，所以可以 \(f\) 可以反转。得到的方程是
易得 \(e=+\infty,a=b=c=d=f=0\)。
最后整理得到流网络如下：
源代码
/*Lucky_Glass*/
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=405,M=N*6,INF=0x3f3f3f3f;
#define ci const int &
class SurroundingGame{
private:
struct GRAPH{
int head[N<<1],cap[M<<1],nxt[M<<1],to[M<<1],ncnt;
GRAPH(){ncnt=1;}
void AddEdge(ci u,ci v,ci varc){
// printf("%d -> %d %d\n",u,v,varc);
int p=++ncnt,q=++ncnt;
to[p]=v,nxt[p]=head[u],head[u]=p,cap[p]=varc;
to[q]=u,nxt[q]=head[v],head[v]=q,cap[q]=0;
}
inline int operator [](ci u){return head[u];}
}Gr;
int dep[N<<1],head[N<<1],St,Ed,n,m;
inline int index(ci x,ci y,ci i){return 2*(x*m+y)+i;}
bool BFS(){
for(int i=1;i<=Ed;i++) dep[i]=-1,head[i]=Gr[i];
queue<int> que;que.push(St),dep[St]=0;
while(!que.empty()){
int u=que.front();que.pop();
for(int it=head[u];it;it=Gr.nxt[it]){
int v=Gr.to[it];
if((~dep[v]) || !Gr.cap[it]) continue;
dep[v]=dep[u]+1;
if(v==Ed) return true;
que.push(v);
}
}
return false;
}
int Aug(ci u,ci in){
if(u==Ed) return in;
int out=0;
for(int &it=head[u];it;it=Gr.nxt[it]){
int v=Gr.to[it];
if(!Gr.cap[it] || dep[v]!=dep[u]+1) continue;
int tov=Aug(v,min(in-out,Gr.cap[it]));
out+=tov,Gr.cap[it]-=tov,Gr.cap[it^1]+=tov;
if(in==out) break;
}
return out;
}
int Dinic(){
int ret=0;
while(BFS()) ret+=Aug(St,INF);
return ret;
}
int charint(const char &c){
if('0'<=c && c<='9') return c-'0';
if('a'<=c && c<='z') return c-'a'+10;
return c-'A'+36;
}
bool law(ci x,ci y){return 0<=x && x<n && 0<=y && y<m;}
public:
int maxScore(vector<string> cost,vector<string> value){
n=cost.size(),m=cost[0].length();
St=n*m*2+1,Ed=St+1;
const int DIR[4][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++){
if((i+j)&1){
Gr.AddEdge(St,index(i,j,1),charint(cost[i][j]));
Gr.AddEdge(index(i,j,1),index(i,j,2),charint(value[i][j]));
for(int k=0;k<4;k++){
int p=i+DIR[k][0],q=j+DIR[k][1];
if(law(p,q)) Gr.AddEdge(index(i,j,2),index(p,q,1),INF);
}
}
else{
Gr.AddEdge(index(i,j,1),Ed,charint(cost[i][j]));
Gr.AddEdge(index(i,j,2),index(i,j,1),charint(value[i][j]));
for(int k=0;k<4;k++){
int p=i+DIR[k][0],q=j+DIR[k][1];
if(law(p,q)) Gr.AddEdge(index(p,q,1),index(i,j,2),INF);
}
}
ans+=charint(value[i][j]);
}
return ans-Dinic();
}
}test;
THE END
Thanks for reading!
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