2-SAT问题

-(-1).前置知识

1. 逻辑运算符及逻辑运算规则

2. 拓扑序和拓扑排序

3. tarjan算法与有向图的连通性（强连通分量）

-1.SAT 问题及 2-SAT 问题的定义

SAT 问题，全称为 Satisfiability 问题，中文翻译为可满足性问题，一般形式为 k-可满足性问题，简称 k-SAT 问题。

给定 \(n\) 个 \(bool\) 变量，有 \(m\) 组 \(bool\) 方程，为这些变量的取值限制，求是否存在 \(n\) 个变量的合法赋值，使得 \(n\) 个变量满足 \(m\) 组取值限制。这就是 SAT 问题。

当每个 \(bool\) 方程中描述的 \(bool\) 变量的个数 \(k\) 大于 \(2\) 时，SAT问题被证明为一个 NPC 问题，因此无法在多项式复杂度内解决。

2-SAT 问题就是SAT问题中 \(k = 2\) 的情况。这种情况可以转化为图论问题，继而在多项式复杂度内解决。该算法由 Aspvall、Plass 和 Tarjan 在 1979 年提出。

举个例子

XX教练收了五个学生，每个学生都学过OI，码风也都不相同。现在XX教练需要写一份每个学生看了都顺眼的代码，也就是满足每个人的码风其中一个习惯。XX教练很懒，所以来问你。每个人的码风如下：

• 第一个人

  • 1.宏定义long long

  • 2.压行

• 第二个人

  • 1.大括号不单独用一行

  • 2.用万能头

• 第三个人

  • 1.宏定义long long

  • 2.不用万能头

• 第四个人

  • 1.大括号单独用一行

  • 2.不压行

• 第五个人

  • 1.不压行

  • 2.不用万能头

我们不难发现，宏定义long long、不压行、大括号不单独用一行就是一组合法的解，并且解不限于此。

-2.2-SAT问题的解法

我们分析一下上一个部分的例子。

一共有四种习惯，分别是宏定义long long、压行、大括号单独用一行、用万能头。我们可以把它们看作四个变量 \(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)、\(a_4\)。由于每种习惯都只有两种状态：用或者不用，所以这些变量我们都可以看作是 \(bool\) 类型的，变量前加 \(\neg\) 表示对当前要求表示否定。

五个约束条件可以表示成一个 \(bool\) 方程 \((a_1\lor{a_2})\land(\neg{a_3}\lor{a_4})\land(a_1\lor\neg{a_4})\land(a_3\lor\neg{a_2})\land(\neg{a_2}\lor\neg{a_4})\)。

观察一下这些约束条件。我们拿第一个约束条件为例，宏定义long long或压行。我们稍微修改一下，如果我们不宏定义long long的话，那是不是就必须压行了呢？抽象一点，如果一个条件 \(a_i\) 不成立，那么另一个条件 \(a_j\) 就必须成立。这里面就带有了一种指向性（\(\neg{a_i} \to a_j\)）。

于是我们可以将指向性转化为一条有向边，由 \(x\) 指向 \(y\)，表示若 \(x\) 成立，则 \(y\) 一定成立。

把 \(a_i\) 按照状态 \(0\) 和 \(1\) 拆分成两个点，状态 \(1\) 表示为点 \(i\)，状态 \(0\) 表示为点 \(i + n\)（\(a_i\) 为 \(bool\) 变量，\(n\) 为变量个数）。

我们继续来看上面那个例子，将它按照这种规则建好的图是这样的

如果有一个变量的两种状态 \(i\) 和 \(i + n\) 能够互相到达（存在从 \(i\) 到 \(i + n\) 的路径也存在 \(i + n\) 到 \(i\) 的路径），那么 \(i\) 和 \(i + n\) 就是矛盾的（既要选一种状态又要选另一种状态）。也就是说，如果 \(i\) 和 \(i + n\) 存在于同一个强连通分量中，那么 \(i\) 和 \(i + n\) 就矛盾，此问题无解。

参考文章

2-SAT学习笔记 - 万万没想到