树与二叉树

一、树

树的定义是递归的，即在树的定义中又用到了其自身，树是一种递归的数据结构。树作为一种逻辑结构，同时也是一种分层结构，结点间关系是前驱唯一而后继不唯一，即结点之间是一对多的关系。

树中结点的最大度数就是树的度；树中一个结点的孩子个数称为该结点的度

n个结点的树中有n-1条边  ；结点数=总度数+1

度为m的树中第i层上至多有m^i-1结点（i>.=1）

高度为h的m叉树至多有(m^h-1)/(m-1)个结点

二、二叉树

（1）每个结点的度不大于2（2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒

一个二叉树中的每个结点只能含有0个,1个，2个孩子,并且每个孩子有左右孩子之分.

二叉树的五种形态：（1）空二叉树（2）只有根结点的二叉树（3）只有左子树的二叉树（4）只有右子树的二叉树（5）左右子树非空的二叉树

二叉树是有序的树，若将其左右子树颠倒，则成为另一棵不同的二叉树，它的左右子树是确定的，而树若某个结点只有一个孩子，则这个孩子无须分次序。

满二叉树：除了叶子结点外每个结点的度都为2  编号为i的结点：双亲i/2向下取整，左孩子:2i  右孩子:2i+1

完全二叉树:当且仅当每个结点都与高度为h的满二叉树中编号1-n的结点一一对应时，称为完全二叉树

对于完全二叉树：i<=n/2向下取整，则结点i为分支结点，否则为叶子结点

二叉排序树：右>根>左

平衡二叉树:树中任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1

二叉树的性质:

n0=n2+1;n=n0+n1+n2=n2+1+n1+n2=2n2+n1+1

二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

依二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，既不浪费空间，又可以根据公式计算出每一个结点的左、右孩子的位置。，但是，对于一般的二叉树，必须用‘虚结点’将其补成一棵“完全二叉树”来存储，这就会造成空间浪费。

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#define MaxSize 100
typedef char Elemtype;
typedef struct TreeNode {
    Elemtype value;
    bool isEmpty;
};
TreeNode t[MaxSize];
void InitTree(TreeNode t[MaxSize]) {
    for (int i = 0; i < MaxSize; i++) {
        t[i].isEmpty = true;
    }
}
void CreateTree(TreeNode t[MaxSize]) {
    for (int i = 1; t[i].value!='\0'; i++) {
        scanf_s("%c\n", &t[i].value);
        t[i].isEmpty = false;
    }
}
//寻找最近公共结点
Elemtype Search(TreeNode t[MaxSize], int i, int j) {
    if (!(t[i].isEmpty && t[j].isEmpty)){
        while (i != j) {
            if (i > j)
                i = i / 2;
            else
                j = j / 2;
        }
        return t[i].value;
    }
}
void main() {
    TreeNode t[MaxSize];
    InitTree(t);
    CreateTree(t);
    Search(t,4,9);
    system("pause");
}

2.链式存储结构

二叉树一般采用链式存储结构；二叉链表至少包含三个域：数据域、左指针域、右指针域

若二叉树有n个结点，,则它的二叉链表中有2n个链域,其中有n-1个非空链域，其余都是空链域，空链域有n+1个,利用这些链域可组成另一种链表结构---线索链表。

 （1）找i 、j 两结点最近的公共祖先结点；

分析二叉树中任意两个结点必然存在最近的公共祖先结点，最坏的情况下是根结点，而且从最近的公共祖先结点到根结点的全部祖先结点都是公共的：

若 i> j，i的双亲结点i/2,若i/2=j，则结点i/2是原结点i和结点j的最近公共祖先结点，否则 i=i/2;

若j > i,  结点j的双亲结点为结点j/2,若 j/2=i,则结点j/2是原结点i和结点j的最近公共祖先结点, 否则 j=j/2

重复上述过程，直到找到为止；

//找两结点最近的公共祖先结点
ElemType CommonAncestor(SeqTree T, int i, int j) {
    if (T[i] != '#' && T[j] != '#') {
        while (i != j)
        {
            if (i > j)
                i = i / 2;
            else
                j = j / 2;
        }
        return T[i];
    }
}
BiTNode* CommonAncestor2(BiTree *T, BiTNode *p,BiTNode *q) {

    if (T == NULL)
        return NULL;
    if (p == T || q == T)
        return T;
    BiTNode left = CommonAncestor2(T->lchild, p, q);
    BiTNode right = CommonAncestor2(T->rchild, p, q);
    if (left != null && right != null) {
        return T;
    }
    return left != null ? left : right;
}