杂题合集

T1

设有序数阵\(T_n=\begin{bmatrix}a_1,a_2,a_3\cdots,a_i,\cdots,a_n\\b_1,b_2,b_3\cdots,b_i,\cdots,b_n \end{bmatrix}\)，集合 \(C_n=\{1,2,3\cdots,2n \}\)，其中 \(i=1，2，3\cdots，n，n\in N，n\ge 4\)。

若 \(T_n\) 满足 \(\{a_1,a_2,a_3\cdots,a_n\}\bigcup\{b_1,b_2,b_3\cdots,b_n\}\) 且 \(a_i-b_i=i\)，则称 \(T_n\) 是 \(C_n\) 的覆盖数阵。

证明：设 \(T_n\) 的个数为 \(s\)，若 \(T_n\) 是 \(C_n\) 的覆盖数阵，则 \(\dfrac{s}{2}\in \mathbf{N}\)。

我们来看这道题，要证明某种数量是偶数，可以将其进行两两配对，证明一对中的两个东西是不同的，即可。可以尝试建立映射等方法（此处不使用映射。）

首先，我们关注一下 \(C_n\)。这个集合的元素首尾配对，其加和都是 \(2n+1\)。那么根据这一点，我们考虑构造一个所谓 \(T_n\) 的配对阵 \(T_n'=\begin{bmatrix}\ 2n+1-a_1,2n+1-a_2,2n+1-a_3\cdots,2n+1-a_i,\cdots,2n+1-a_n\\2n+1-b_1,2n+1-b_2,2n+1-b_3\cdots,2n+1-b_i,\cdots,2n+1-b_n \end{bmatrix}\)。不难发现，这两个数阵之和就是一个全为 \(2n+1\) 的数阵。

接下来，我们要证明的就是这两个数阵不同。用反证法：设有相同的两个互为配对阵的T，关注它们的第二列：

\(2n+1-b_2=a_2,2n+1-a_2=b_2，a_2-b_2=2\)

联立，解得：\(2b_2=2n-1\) 又因为b和n是整数，矛盾，故两个互为配对阵的数阵不相同。证毕