分式

分式

什么是分式？或需我们在学习整式的时候老师都提过一嘴。所谓分式就是分母上有未知数的式子。比如说下面这些：

\(\dfrac{1}{x},x^{-1}\)

都是分式。分式不一定全都有意义。比如说，对于一个分式 \(\dfrac{A}{B}\)，其中A和B都是整式，我们就可以讨论其是否有意义：

\[\begin{cases}B=0\ 无意义\\ B\neq0\ 有意义\end{cases} \]

也就是分式的分母不等于零时，分式有意义。当分式的分子=0时，分式=0。

\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 1.1}\)

解方程：

\[\dfrac{3x^2-12}{x^2+4x+4}=0 \]

\(\mathbf{sol}\)

首先我们对上下进行因式分解，得到：

\[\dfrac{3(x+2)(x-2)}{(x+2)^2} \]

因为原分式=0，所以分子等于0，因此我们得到两个根：

\(x=\pm2\)

别着急写答，检验一下，当x=-2时，分式无意义，所以这个根是增根需要舍去，因此只有一个答案：x=2。

\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 1.2}\)

关于x的一元一次方程 \(ax-3=a^2+2a+x(a\neq1)\) 的解是整数，求a。

\(\mathbf{sol}\)

先整理方程，可以得到：

\[(a-1)x=a^2+2a+3 \]

\[x=\dfrac{a^2+2a+3}{a-1} \]

现在我们吧x求出来了，要使得x是整数，那么这一坨分式也得是整数。但是因式分解不了了，那我们就使用分离常数法：

\[\dfrac{a^2+2a+3}{a-1}=\dfrac{a^2-a+3a+3}{a-1}=\dfrac{a(a-1+3(a-1)+6)}{a-1}=3+a+\dfrac{6}{a-1} \]

因为a是整数，3是整数，所以3+a一定是整数。我们只需要是的后面这个是整数就行了。枚举不再赘述。

\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 2}\)

\[a,b,c\in R，a+b+c=0，abc=4，判断 \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} 的正负性 \]

\(\mathbf{sol}\)

乍一看似乎没有什么头绪，那我们先通分看看：

\[\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{ab+bc+ac}{abc}=\dfrac{ab+bc+ca}{4} \]

诶，我们发现现在只需要判断 \(ab+bc+ca\) 的正负性了。题目中还有一个三数之和为0这个条件没有用上，所以我们来凑一下：

\[ab+bc+ac=\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2} \]

而因为a+b+c=0，所以其平方=0，又因为abc=4不等于0，所以说这个东西小于0，继而整个式子小于0。所以原式为负数。

\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 3}\)

证明：

\[\dfrac{a^r}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^r}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^r}{(c-b)(c-a)}=\begin{cases}0\ \ \ (r=0，1)\\ 1\ \ \ (r=2) \\ a+b+c\ \ \ (r=3)\end{cases} \]

\(\mathbf{sol}\)

r=0和1时自证不难。

r=2时，进行通分，随后分子得到的 \(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\) 进行轮换式分解，最后上下消掉，得到1。

r=3时，进行通分，将分子因式分解，随后会剩下一个一次因式 \(a+b+c\)。

证毕。