矩阵【7】

矩阵

没想到啊初一就学线代了。

0x00 矩阵的求逆

定义

对于一个矩阵 \(A\)，如果存在一个矩阵 \(B\) 使得

\[AB=BA=E \]

其中 \(E\) 是单位矩阵，则称 \(B\) 是 \(A\) 的逆矩阵。通常记作 \(A^{-1}\)。

逆矩阵的唯一性是很好证明的，这里不再赘述。

可逆与不可逆

对于一个矩阵 \(A\)，如果其行列式 \(|A|=0\)，那么这个矩阵不可逆。否则这个矩阵可逆。

求逆矩阵的方法

学的方法有三种：伴随矩阵法、初等行变换还有公式法。

首先我们来看公式法（仅二阶）

设一个可逆矩阵为

\(\begin{pmatrix} a & b \\ c&d \end{pmatrix}\)

有定义可得有一个矩阵

\(\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}\)

使得
\(\begin{pmatrix} a & b \\ c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

随后我们展开一下
\(\begin{pmatrix} ax+bz & ay+bw \\ cx+dz&cy+dw \end{pmatrix}\ =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

根据矩阵对应元素相等，我们可得

\[\begin{cases} ax+bz=1\\ ay+bw=0\\ cx+dx=0\\ cy+dw=1\end{cases} \]

于是，可得关于x和z的方程组

\[\begin{cases} ax+bz=1\\ cx+dz=0\end{cases} \]

和关于y和w的方程组

\[\begin{cases} ay+bw=0\\ cy+dw=1\end{cases} \]

随后，整理可得

\[\begin{cases} (ad-bc)x=d\\ (ad-bc)z=-c\end{cases} \]

及

\[\begin{cases} (ad-bc)-b\\ (ad-bc)w=a\end{cases} \]

随后，我们很容易知道，abcd不可能全为0，否则与上述方程矛盾。这也就是为什么矩阵行列式=0，其没有逆矩阵的原因。

反之，若 \(ad-bc\neq 0\)，有上面的方程组，我们能得到

\[\begin{cases} x=\dfrac{d}{ad-bc}\\ \\ y=-\dfrac{b}{ad-bc}\\ \\ z=-\dfrac{c}{ad-bc}\\ \\ w=\dfrac{a}{ad-bc} \end{cases} \]

又因为

\[\left|A\right|=ad-bc \]

所以，原方程组又可以写成

\[\begin{cases} x=\dfrac{d}{|A|}\\ \\ y=-\dfrac{b}{|A|}\\ \\ z=-\dfrac{c}{|A|}\\ \\ w=\dfrac{a}{|A|} \end{cases} \]

经过整理，A的逆矩阵可以写成

\[A^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{|A|}d&-\dfrac{1}{|A|}b \\ -\dfrac{1}{|A|}c&\dfrac{1}{|A|}a\end{pmatrix} \]

也就是

\[A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a\end{pmatrix} \]

这就是第一种方法。通过最朴素的方法来求。我曾想在考试上直接写这个结论，终究还是没有写，因为有一位同志因此一分没得。
接下来，我们来看伴随矩阵法。
伴随矩阵是个啥呢，首先我们来看一个概念——代数余子式
首先，我们来了解“余子式”这个概念。
对于n阶行列式中的元素 \(a_{ij}\)，将其所在i行j列的全部元素划去后，可以得到一个n-1阶的行列式，这个行列式就是元素 \(a_{ij}\) 的余子式。计作 \(m_{ij}\)
代数余子式的概念，可以表示为：

\[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \]

大A就是代数余子式。
随后呢，我们将这些代数余子式按照坐标顺序排列，就可以得到伴随矩阵的转置 \((A^*)^T\)
随后再转置一下就可以得到伴随矩阵了
然后就好办了，有公式

\[A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*} \]

第三种方法就是初等行变换法。首先我们构造一个增广矩阵

\[(A,E) \]

为什么要在原矩阵的右侧加上单位阵呢，因为我们可以这样：

\[(A,E)r_1 \]

\[r_1\times A^{-1} \to (E,A^{-1}) \]

没错，我们发现，只要将原矩阵通过一系列初等行变换变成单位阵，右边的单位阵就会自己变成逆矩阵。

具体例子不演示了，因为没什么好说的。但是如果我们强行用这种方法来求不可逆矩阵的逆矩阵，就会出现这种情况：

\[\begin{pmatrix}1&1&a&b\\0&0&c&d \end{pmatrix} \]

可以看到，这种情况永远都不能将前面这四个东西转换为单位阵。

0x01 矩阵的乘法和数乘

数乘没什么好说的，定义如下：

对于一个n阶矩阵，其乘k的结果就是每个元素都对应乘k。

矩阵乘法就有些难度了，需要去理解。

首先我们来看，矩阵乘法怎样才能有意义。
对于一个m行l列的矩阵和一个l行n列的矩阵，它们相乘是有意义的。这样会得到一个m行n列的矩阵。那么这个乘完后的矩阵长啥样子呢？是这样的：

\[AB=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c_{m1}&c_{m2}&\cdots&c_{mn}\end{pmatrix}_{m\times n} \]

对于任何一个元素，有：

\[c_{ij}=\begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{il}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{lj}\end{pmatrix}(i=1,2,\cdots,m；j=1,2\cdots,n) \]

也就是A的行和B的列的对应元素乘积的加和。这个概念也不简单，理解了两节课才会的。

0x02 用矩阵做有关二元一次方程组的问题

克莱姆法则

对于一个二元一次方程组

\[\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases} \]

对其系数整理成行列式

\[D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} \]

随后用b1和b2替代任意一列，可以得到 \(D_1\) 和 \(D_2\)。随后就可以根据这两个行列式求出x和y了：

\[x=\dfrac{D_1}{D}，y=\dfrac{D_2}{D} \]

初等行变

对于一个系数矩阵 \(A\)，一个未知元列向量 \(x=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\)，一个常数项矩阵 \(b\)，就能写成矩阵方程基本形式：

\[Ax=b \]

要解这个方程，最简单的办法就是通过初等行变使其右侧变为单位阵。

0x03 矩阵的特征值和特征向量

首先来了解一个新概念———方阵的“迹”(\(\text{trace}\))。其定义为主对角线上所有元素之和。

特征向量的定义：对于一个n阶方阵A，如果能找到一个数 \(\lambda\) 和一个列向量 \(x_{n\times 1}\)，使得

\[Ax=\lambda x \]

则称 \(\lambda\) 是A的特征值，x称为A的特征向量。

接下来是重要的特征值方程推导过程：

\(Ax=\lambda x\)
\(Ax=(\lambda I_n) x\)
\(Ax-\lambda I_n x=0\)
\((A-\lambda I_n)x=0\)
也就是
\(\det(A-\lambda I_n)=0\)

对于一个方阵，有这种方法去求其特征值（暂不考虑特征向量）：

例如矩阵 \(\begin{pmatrix}3&1\\ 1&3\end{pmatrix}\)，写一下特征值方程 \(\det(A-\lambda I_n)=0\)，随后将各部分值代入即可。（注意：特征值方程也可以反过来写，就是 \(\det(\lambda I_n-A)=0\)

一开始学的时候很好奇讲这个看似没用的“迹”是干啥的。写了8道题后老师告诉我们一个规律：特征值之和为矩阵的迹，特征值之积为矩阵的行列式。