因式分解：轮换式与对称式
0x00 定义：轮换式与对称式
对称式：关于 \(x\)、\(y\) 的多项式，如果互换字母而多项式仍然保持不变，则称为关于 \(x\)、\(y\) 的对称式。
对于三元的情况，互换任意两个字母仍保持不变则是三元对称式。
轮换式：关于 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的多项式，如果将字母轮换，即 \(x->y，y->z，z->x\)，多项式仍保持不变的，成为关于 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的轮换式。
对于更多元的情况亦是如此。
容易看出对称式一定是轮换式，但是轮换式不一定是对称式。
两个轮换式经过四则运算（规定除式整除被除式）仍然是轮换式。
0x01 典型方法：试根
首先声明一点本文默认读者掌握了因式定理。如果还不会的可以去网上搜搜。轮换对称的一大典型方法就是试根。尝试出一个因式后，可以判断原式是否是轮换式，这样就可以一下判断出很多因式。
先来看一道题：
\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 1}\)
\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)
\(\mathbf{sol}\)
很简单，用因式定理即可。可以看出 \(x=y\) 时原式=0，因为原式是一个三元轮换式，所以 \((x-y),(y-z),(z-x)\) 都是它的因式。由于原式是一个三次齐次式，因此我们知道这三个因式之积和分解式最多相差一个常数 \(k\)。用待定系数法比较系数可得到 \(k=-1\)。
这就是轮换对称的典型方法。让后再来看一道类似的
\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 2}\)
\(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)\)
\(\mathbf{sol}\)
用第一题的方法可以得到原式有因式 \((x-y)(y-z)(z-x)\)。由于原式是一个四次齐次式，因此二者之间相差一个一次齐次式。不妨设这个齐次式为 \(k(a+b+c)\)。剩余部分就是待定系数法比较即可。
随后来看点不一样的。三次齐次式的分解。
\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 3}\)
\((a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3\)
\(\mathbf{sol}\)
本题思路与上述题目一样，但是求根方法有些许不同。在这里我们用的方法是令某个元等于0。当 \(a=0\) 时原式=0，因此我们知道 \(a\) 是分解式的一个因式。同样的，由于原式是三元齐次轮换式，所以 \(a,b,c\) 都是原式的因式。剩余步骤与1、2类似，求常数系数 \(k\)。此处用待定系数法有些麻烦，所以用赋值法，让得到的结果尽可能小再比较即可（此处的值必须使得 \(abc=1\)，否则就无法求出 \(k\) 了。）
这就是几种求根的方法。第一是代换法，第二是归零法（作者自己起的名字。当然还有一种求根法没有说，就是令 \(a=b\pm c\) 之类的。这就是常用的三种方法。大部分简单的轮换对称都可以通过这些方法来求解。
0x02 处理齐次/非齐次轮换式
我们不能确保每一道题目都是齐次式，往往会有非齐次式的出现。那么我们该如何处理呢？也很简单，将非齐次式中齐次的项进行组合，这样就可以将一个长非齐次式分解成多个齐次式的和的形式，在进行分解并提取公因式即可。
\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 4}\)
\((x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5\)
\(\mathbf{sol}\)
用前面的方法易知这个多项式有因式 \((x-y)(y-z)(z-x)\)。因为原式是一个五次齐次式，而我们目前找到的因式只是三次齐次式，所以二者相差一个二次齐次轮换式。对于这个二次轮换式，其一般形式是这样的：
然后我们就可以通过赋值求出 \(l\) 和 \(m\) 了，随后就分解完成了。
\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 5}\)
\(a^5-b^5-(a-b)^5\)
\(\mathbf{sol}\)
原式不是轮换式。它在字母互换时变号。因此我们可以令 \(c=-b\)，在进行求根即可。当然更简单的方法是通过换元使得这个式子转换为上面的那个轮换式，在进行分解。
接下来，我们来看一道非齐次式的分解。
\((y^2-z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2-x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2-y^2)(1+xz)(1+zy)\)
第一眼上来发现，这个式子里含有常数项，因此不是齐次式。通过上面的方法易知原式有因式 \((x-y)(y-z)(z-x)\)。然后我们找不到因式了，怎么办呢？我们可以按照次数将这个式子整理一下，变成两个齐次式相加，再尝试提取公因式，最后用待定系数搞完即可。
0x03 \(a^3+b^3+c^3-3abc\)
这是一个很常用的公式。我们先尝试将这个公式分解一下。
\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 6}\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(\mathbf{sol}\)
易知原式有因式 \((a+b+c)\)。并且剩下的是一个二次齐次轮换式，形式为：\(l(a^2+b^2+c^2)+m(ab+bc+ca)\)。待定系数比较即可。
然后分解完成，我们就能得到公式：\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\)。当然也可以这么写：\(a^3+b^3+c^3-3abc=\dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\)。这正好引出了另外一个常考的乘法公式：
这种乘法公式一般运用于技巧性题目。
总结来说，轮换式的分解可以分为这么几步：
- 先求根
- 根据根来求因式（根据轮换性一般可以求出多个因式）
- 如果求出因式的次数=原式次数，则直接待定系数法求系数；如果小于原式次数，则乘上少的那部分的基本轮换式，随后待定系数或赋值法求系数；如果找出因式次数>原式次数，则可以判定原式一定为0。
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