【洛谷】P3287 [SCOI2014]方伯伯的玉米田（线性dp+数据结构优化）

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题意

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，最多可以执行 \(k\) 次将一个区间 \([l,r]\) 中的数每一个数都增加 \(1\)，求最终可以得到的最长不下降子序列的长度最大值。

数据范围

\(1 <n \leq 10000,1 \leq k \leq 500,1 \leq a_i \leq 5000\)。

思路

首先不难发现本题中的一个性质，每一次修改操作的右端点 \(r=n\)。这是因为每次都把右边的数都 \(+1\)，并不会导致答案的长度减小。而如果把右边的数都增加了，那么这个子序列就有可能接到前面的一个子序列后面，就会使答案变大。故每次右端点都选 \(n\) 不会使答案减小。

设 \(f[i][j]\) 表示以 \(i\) 结尾的使用了 \(j\) 次修改（每次修改的 \(l \leq i,r=n\)）的最长不下降子序列的长度。考虑枚举将 \(i\) 接到前面的子序列后面，就可以得到朴素的状态转移方程：

\(f[i][j]=max(f[i][j],f[x][y])\)，其中 \(x \leq i,y\leq j\)，同时也需要满足 \((a[j]+y \leq a[i]+j)\) （有\(j-y\) 次操作以 \(i\) 为左端点，区间中不包括 \(j\)）。

这个转移的时间复杂度是 \(O(n^2k^2)\) 的，非常需要优化。

注意到转移中是取最大值，那么就可以考虑用一种数据结构来记录区间内的最大值。

由于 \(i\) 顺序枚举，所以 \(x \leq i\) 可以直接满足。而对于额外的高度要求，可以看成是以 \(a[j]+y\) 结尾的子序列。那么就只需要快速查询出所有满足 \(a[j]+y \leq a[i]+j,y \leq j\) 中的最大值。

由于所有操作都是单点修改，可以考虑用二维树状数组来实现（具体实现方法看代码比较好理解）。那么时间复杂度就可以降低到 \(O(n k \log nk)\)。可以通过本题。

code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=10010;
const int M=5550;
const int K=521;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int f[N][K],n,k,a[N],c[M][K];//第一维表示最右边的高度，第二维表示修改次数 
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void updata(int x,int y,int val)
{
	for(int i=x;i<=5500;i+=lowbit(i)) //枚举到最大可能高度 
	    for(int j=y;j<=k+1;j+=lowbit(j)) //由于修改次数可能为0，所以需要将次数+1才能用树状数组 
	        c[i][j]=max(c[i][j],val);
}
int query(int x,int y)
{
	int res=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
	    for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
	        res=max(res,c[i][j]);
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=k;j>=0;j--)
	    {
	    	f[i][j]=query(a[i]+j,j+1)+1;//这两行的+1都是为了防止修改0次而死循环 
	    	updata(a[i]+j,j+1,f[i][j]);//表示更新一个修改了j次，右端点为a[i]+j，长度为 f[i][j] 的序列 
		}
	printf("%d\n",query(5500,k+1));//最后的答案是所有可能答案的最大值，不一定以最后一数为右端点 
	return 0;
}