P3232 [HNOI2013 / JSOI2013] 游走

题意

定义一个图的得分：从 \(1\) 开始，每次随机选择一个相邻的节点并走过去，走到 \(n\) 时停，该图的得分为经过的边的权值和的期望。
给出一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边简单无向图，你需要给每条边分别赋上权值 \(1\) 到 \(m\)，使得得分最小。
\(n\le510,m\le125000\)。

思路

考虑计算每个点被经过的期望次数，设为 \(f_i\)，那么有 \(f_u=[u==1]+\sum_{(u,v)\in E}\frac{f_v}{de(u)}\)，其中 \(de(u)\) 表示 \(u\) 的度数。用高斯消元求出所有 \(f\)，那么一条边 \((u,v)\) 经过的期望次数为 \(\frac{f_u}{de(u)}\cdot[u\not=n]+\frac{f_v}{de(v)}\cdot[v\not=n]\)。按照每条边出现的期望次数排序并赋权值计算答案。

代码

// Problem: P3232 [HNOI2013 / JSOI2013] 游走
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3232
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
const double eps=1e-5;
const int maxn=510;
int n,m,de[maxn];
double a[maxn][maxn],ans[maxn],p[maxn*maxn];
struct EDGE{int u,v;}b[maxn*maxn];
void guess(int n){
    int p=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=p;j<=n;j++) if(abs(a[j][i])>eps){swap(a[j],a[p]);break;}
        if(abs(a[p][i])<eps) continue;
        for(int j=p+1;j<=n;j++){
            double bs=a[j][i]/a[p][i];
            for(int k=1;k<=n+1;k++) a[j][k]-=a[p][k]*bs;
        }
        p++;
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        double v=a[i][n+1];
        for(int j=1;j<=n;j++) v-=ans[j]*a[i][j];
        ans[i]=v/a[i][i];
    }
}
signed main(){
    read(n,m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        read(b[i].u,b[i].v);
        auto[u,v]=b[i];
        de[u]++,de[v]++;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        auto[u,v]=b[i];
        if(u==n||v==n) continue;
        a[u][v]+=1.0/de[v];
        a[v][u]+=1.0/de[u];
    }
    for(int i=1;i<n;i++) a[i][i]--;
    a[1][n]--;
    guess(n-1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        auto[u,v]=b[i];
        p[i]=1.0/de[u]*ans[u]+1.0/de[v]*ans[v];
    }
    sort(p+1,p+1+m);
    double ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++) ans+=p[i]*(m-i+1);
    printf("%.3lf",ans);
    return 0;
}