P3221 [HNOI2012] 双十字

题意

给出一个 \(R\times C\) 的 \(01\) 矩阵，问里面双十字的数量，对 \(10^9+7\) 取模。
\(R,C\le10^4\)，\(R\times C\le2\times10^6\)。

思路

枚举双十字中间的柄所在的列，把柄所在列上的极长连续 \(1\) 段拉出来。显然，不同的段之间没有贡献。
设 \(l_i\) 表示柄上第 \(i\) 行向左和向右同时能够延伸的最大单侧长度（不包含中心点本身），枚举双十字两条竖直的连续 \(1\) 段的位置，计算答案。这样我们就得到了一个暴力，可以获得 \(80\) 分。

代码如下

M ans,inv2=ksm(M(2),mod-2);
for(int j=1;j<=c;j++) for(int i=1;i<=r;i++){
    if(a[i][j]==0) continue;
    int nt=i;
    while(nt<=r&&a[nt][j]) nt++;
    nt--;
    for(int w=i;w<=nt;w++) l[w]=min(le[w][j],ri[w][j])-1;
    for(int up=i+1;up<nt;up++) for(int dn=up+2;dn<nt;dn++){
        M xs=M(up-i)*(nt-dn),cnt;
        if(l[up]<l[dn]) cnt=xs*(l[dn]+l[dn]-1-l[up])*l[up]*inv2;
        else cnt=xs*(l[dn]-1)*l[dn]*inv2;
        ans+=cnt;
    }
    i=nt;
}

顺着这个思路，把式子拆开，用树状数组维护即可。

代码

// Problem: P3221 [HNOI2012] 双十字
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3221
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
template<int mod>struct Modint{
    int z;
    Modint(){z=0;}
    Modint(int x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(long long x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(short x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(char x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(bool x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    friend Modint operator+(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z+t2.z)%mod;return ans;}
    friend Modint operator*(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=1ll*t.z*t2.z%mod;return ans;}
    friend Modint operator-(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z-t2.z)%mod;return ans;}
    Modint operator-()const{return (Modint){-z};}
    Modint operator<<(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z<<t)%mod;return ans;}
    Modint operator>>(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z>>t)%mod;return ans;}
    Modint&operator+=(const Modint t){z=(z+t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator*=(const Modint t){z=1ll*z*t.z%mod;return *this;}
    Modint&operator-=(const Modint t){z=(z-t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator<<=(const int t){z=(z<<t)%mod;return *this;}
    Modint&operator>>=(const int t){z=(z>>t)%mod;return *this;}
    Modint&operator++(){z++,z%=mod;return *this;}
    Modint&operator--(){z--,z%=mod;return *this;}
    Modint operator++(int){Modint ls=*this;z++,z%=mod;return ls;}
    Modint operator--(int){Modint ls=*this;z--,z%=mod;return ls;}
    friend Modint ksm(Modint a,int b){
        Modint ans=1;
        while(b){if(b&1) ans=ans*a;a=a*a,b>>=1;}
        return ans;
    }
    friend void read(Modint&z){
        int x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=(x*10ll+c-'0')%mod,c=getchar();
        f?x=-x:0;
        z.z=x;
    }
    friend void write(Modint x){x.z<0?x.z+=mod:0;write(x.z);}
};
const int mod=1000000009,maxn=10010;
#define M Modint<mod>
int r,c,n,l[maxn];
vector<int>a[maxn],le[maxn],ri[maxn];
class BIT{
private:
    M t[maxn];
    int low(int u){return u&-u;}
public:
    void update(int u,M z){u++;while(u<=c+1) t[u]+=z,u+=low(u);}
    M query(int u){u++;M ans;while(u) ans+=t[u],u-=low(u);return ans;}
}t1,t2,t3;
signed main(){
    read(r,c,n);
    for(int i=1;i<=r;i++) a[i].resize(c+5,1),le[i].resize(c+5,0),ri[i].resize(c+5,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x,y;read(x,y);
        a[x][y]=0;
    }
    for(int i=1;i<=r;i++) for(int j=1;j<=c;j++){
        if(a[i][j]) le[i][j]=le[i][j-1]+1;
        else le[i][j]=0;
    }
    for(int i=1;i<=r;i++) for(int j=c;j>=1;j--){
        if(a[i][j]) ri[i][j]=ri[i][j+1]+1;
        else ri[i][j]=0;
    }
    M ans,inv2=ksm(M(2),mod-2);
    for(int j=1;j<=c;j++) for(int i=1;i<=r;i++){
        if(a[i][j]==0) continue;
        int nt=i;
        while(nt<=r&&a[nt][j]) nt++;
        nt--;
        for(int w=i;w<=nt;w++) l[w]=min(le[w][j],ri[w][j])-1;
        for(int dn=i+2;dn<nt;dn++){
            t1.update(l[dn],M(nt-dn)*(l[dn]+l[dn]-1));
            t2.update(l[dn],M(nt-dn));
            t3.update(l[dn],M(l[dn]-1)*l[dn]*(nt-dn));
        }
        for(int up=i+1;up<nt-1;up++){
            int dnn=up+1;
            t1.update(l[dnn],-M(nt-dnn)*(l[dnn]+l[dnn]-1));
            t2.update(l[dnn],-M(nt-dnn));
            t3.update(l[dnn],-M(l[dnn]-1)*l[dnn]*(nt-dnn));
            M xs=M(up-i)*l[up]*inv2;
            ans+=(t1.query(c)-t1.query(l[up])-(t2.query(c)-t2.query(l[up]))*l[up])*xs;
            ans+=t3.query(l[up])*inv2*M(up-i);
        }
        i=nt;
    }
    write(ans);
    return 0;
}