P3965 [TJOI2013] 循环格

题意

给一个 \(n\times m\) 的网格，每个位置最初有一个方向，为上下左右中的一种。对于每个点，如果从祂出发，按照格子上的方向一直走可以回到起点，那么称这个网格为循环格。特别的，如果走到网格外面，会到另一端。
求把网格变成循环格的最少修改次数。
\(n,m\le15\)。

思路

显然，每个格子如果入度为 \(1\)，出度也为 \(1\)，那么这个网格是合法的。考虑拆点，对于一个点 \(u\)，拆成 \(u_1,u_2\)，分别表示入度和出度。\(s\) 向 \(u_1\) 连流量为 \(1\)，费用为 \(0\) 的边，\(u_2\) 向 \(t\) 连流量为 \(1\)，费用为 \(0\) 的边，设 \(u_1\) 现在朝向点 \(v\)，那么 \(u_1\) 向 \(v_2\) 连流量为 \(1\) 费用为 \(0\) 的边，\(u_1\) 向与祂相邻的另外三个点的出度连流量为 \(1\)，费用为 \(1\) 的边。
答案就是最小费用。

代码

// Problem: P3965 [TJOI2013] 循环格
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3965
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
const int maxn=20,inf=100000000;
int n,m,bh[maxn][maxn],fx[10]={0,0,0,1,-1},fy[10]={0,1,-1};
char ch[10]={'1','R','L','D','U'};
char a[maxn][maxn];
template<int maxn,int maxm>struct LSQXX{
    int head[maxn],nxt[maxm*2],to[maxm*2],val[maxm*2],cost[maxm*2],cnt=1;
    void add(int u,int v,int z,int c){nxt[++cnt]=head[u],to[cnt]=v,val[cnt]=z,cost[cnt]=c,head[u]=cnt;}
};
class Network_Flow{
private:
    LSQXX<maxn*maxn*2,maxn*maxn*4>e;
    int s,t,d[maxn*maxn],cur[maxn*maxn],ans;
    bool vis[maxn*maxn],inque[maxn*maxn];
    void edge_add(int u,int v,int z,int c){e.add(u,v,z,c),e.add(v,u,0,-c);}
    bool spfa(){
        for(int i=0;i<=t;i++) d[i]=inf;
        d[s]=0;
        queue<int>q;q.push(s);
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();q.pop(),inque[u]=0;
            for(int i=e.head[u];i;i=e.nxt[i]){
                int v=e.to[i];
                if(e.val[i]==0) continue;
                if(d[v]>d[u]+e.cost[i]){
                    d[v]=d[u]+e.cost[i];
                    if(inque[v]==0) inque[v]=1,q.push(v);
                }
            }
        }
        return d[t]!=inf;
    }
    int dfs(int u,int flow=inf){
        if(u==t||flow==0) return flow;
        if(vis[u]) return 0;vis[u]=1;
        int sum_flow=0;
        for(int&i=cur[u];i;i=e.nxt[i]){
            int v=e.to[i];
            if(d[v]!=d[u]+e.cost[i]) continue;
            int new_flow=dfs(v,min(flow,e.val[i]));
            ans+=new_flow*e.cost[i];
            e.val[i]-=new_flow,e.val[i^1]+=new_flow;
            flow-=new_flow,sum_flow+=new_flow;
            if(flow==0) break;
        }
        vis[u]=0;return sum_flow;
    }
public:
    int work(){
        while(spfa()){
            for(int i=0;i<=t;i++) cur[i]=e.head[i];
            dfs(s);
        }
        return ans;
    }
    void build(){
        s=t=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) bh[i][j]=++t,t++;
        t++;
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) edge_add(s,bh[i][j],1,0),edge_add(bh[i][j]+1,t,1,0);
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) for(int k=1;k<=4;k++){
            int x=i+fx[k],y=j+fy[k];
            if(x<1) x=n;if(y<1) y=m;
            if(x>n) x=1;if(y>m) y=1;
            if(ch[k]==a[i][j]) edge_add(bh[i][j],bh[x][y]+1,1,0);
            else edge_add(bh[i][j],bh[x][y]+1,1,1);
        }
    }
}wll;
signed main(){
    read(n,m);
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) read(a[i][j]);
    wll.build();
    write(wll.work());
    return 0;
}