P3890 [GDOI2014] 比特矩阵

题意

定义比特矩阵乘法 \(\times\)，令 \(C=A\times B\)，则有 \(c_{i,j} = \bigvee_{k=1}^{n} (a_{i,k} \oplus b_{k,j})\)。
其中：\(\bigvee\) 表示对序列进行按位或运算，\(\oplus\) 表示按位异或运算。
现在给出矩阵 \(A\) ，要求计算 \(A^m\)。
\(n\le500\)，\(m\le10^9\)，\(a_{i,j}\le 10^9\)。

思路

由于都是位运算，所以把矩阵按位拆开，变成 \(01\) 矩阵的问题。
考虑计算两个矩阵 \(A,B\) 的比特乘法。设 \(A\times B=C\)，如果 \(c_{i,j}=0\)，那么 \(A\) 的第 \(i\) 行和 \(B\) 的第 \(j\) 列完全一样。也就是说，一个矩阵 \(X\times A\) 如果不是全 \(1\)，那么不同的 \(X\) 至多 \(n\) 个。把每行拆开，分别找循环节即可。

代码

写的比较奇妙，拿下最劣解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
#define ull unsigned long long
const int maxn=510;
const ull base=23;
int n,m,A[maxn][maxn],ans[maxn][maxn],a[maxn][maxn];
bitset<maxn>nw,co[maxn],all;
unordered_map<bitset<maxn>,bitset<maxn>>nt,ntt;
unordered_map<bitset<maxn>,int>vis;
vector<bitset<maxn>>vt;
signed main(){
    read(n,m);
    for(int i=1;i<=n;i++) all.set(i);
    m--;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) read(A[i][j]);
    for(int c=0;c<=30;c++){
        int z=(1<<c);
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=!!(A[i][j]&z);
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(a[i][j]) co[j].set(i);else co[j].reset(i);
        nt.clear();
        for(int i=1;i<=n;i++) nt[co[i]]=all;
        for(int i=1;i<=n;i++) nt[co[i]].reset(i);
        ntt=nt;
        for(auto[nw,nxt]:ntt) if(nt.find(nxt)==nt.end()) nt[nxt]=all;
        if(nt.find(all)==nt.end()) nt[all]=all;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++) if(a[i][j]) nw.set(j);else nw.reset(j);
            vis.clear(),vt.clear();
            vt.push_back(nw),vis[nw]=1;
            while(1){
                if(nt.find(nw)!=nt.end()) nw=nt[nw];
                else nw=all;
                if(!vis[nw]){
                    vt.push_back(nw);
                    vis[nw]=vt.size();
                    continue;
                }
                int be=vis[nw],en=vt.size();
                if(m<be-1) nw=vt[m];
                else nw=vt[(m-be+1)%(en-be+1)+be-1];
                break;
            }
            for(int j=1;j<=n;j++) if(nw.test(j)) ans[i][j]+=z;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++,write("\n")) for(int j=1;j<=n;j++,write(" ")) write(ans[i][j]);
    return 0;
}