P5039 [SHOI2010] 最小生成树

题意

给一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，边有边权，每次操作可以给出了某一条指定边外的所有边权值减一。要求用最小的操作次数，使得一条给定的边一定在原图的最小生成树中。
\(n\le500,m\le800\)。

思路

每次操作相当于给一条边权值加一。设题目要求边 \((x,y,z)\) 一定在最小生成树中。
用网络流。
\(s\) 向 \(x\) 连流量为 \(+\infty\) 的边，\(y\) 向 \(t\) 连流量为 \(+\infty\) 的边。
枚举所有边 \((u,v,w)\) 满足 \(w\le z\)，\(u,v\) 之间连流量为 \(z-w+1\) 的双向边。
输出最小割。

代码

// Problem: P5039 [SHOI2010] 最小生成树
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P5039
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
const int maxn=510,maxm=810;
struct node{int u,v,w;}a[maxm];
int n,m,L;
namespace Network_Flow{
    const int inf=1000000000;
    template<int maxn,int maxm>class LSQXX{
    public:
        int head[maxn],nxt[maxm*2],to[maxm*2],val[maxm*2],cnt=1;
        void add(int u,int v,int w){nxt[++cnt]=head[u],to[cnt]=v,val[cnt]=w,head[u]=cnt;}
        void clear(){memset(head,0,sizeof(head));cnt=1;}
    };
    LSQXX<maxn,maxm*2>e;
    int s,t,d[maxn],cur[maxn];
    void edge_add(int u,int v,int w){e.add(u,v,w),e.add(v,u,0);}
    bool bfs(){
        for(int i=s;i<=t;i++) d[i]=inf;
        queue<int>q;q.push(s);d[s]=0;
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();q.pop();
            for(int i=e.head[u];i;i=e.nxt[i]){
                int v=e.to[i];
                if(e.val[i]==0) continue;
                if(d[v]>d[u]+1) d[v]=d[u]+1,q.push(v);
            }
        }
        return d[t]!=inf;
    }
    int dfs(int u,int flow=inf){
        if(flow==0) return 0;
        if(u==t) return flow;
        int ans=0;
        for(int&i=cur[u];i;i=e.nxt[i]){
            int v=e.to[i];
            if(d[v]!=d[u]+1) continue;
            if(e.val[i]==0) continue;
            int new_flow=dfs(v,min(flow,e.val[i]));
            flow-=new_flow,ans+=new_flow;
            e.val[i]-=new_flow,e.val[i^1]+=new_flow;
            if(flow==0) return ans;
        }
        return ans;
    }
    void build(){
        s=0,t=n+1;
        edge_add(s,a[L].u,inf),edge_add(a[L].v,t,inf);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(i==L) continue;
            if(a[i].w<=a[L].w){
                edge_add(a[i].u,a[i].v,a[L].w-a[i].w+1);
                edge_add(a[i].v,a[i].u,a[L].w-a[i].w+1);
            }
        }
    }
    int work(){
        int ans=0;
        while(bfs()){
            for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=e.head[i];
            ans+=dfs(s);
        }
        return ans;
    }
};
signed main(){
    read(n,m,L);
    for(int i=1;i<=m;i++) read(a[i].u,a[i].v,a[i].w);
    Network_Flow::build();
    write(Network_Flow::work());
    return 0;
}