P5038 [SCOI2012] 奇怪的游戏

题意

给出一个 \(n\times m\) 的棋盘，围着 \((x,y)\) 写着数 \(a_{x,y}\)，每次可以将相邻的两个数加 \(1\)，问最少多少次可以把棋盘中的书变成全部一样的，如果无解，输出 -1。
有多测。
\(n,m\le40,a_{i,j}\le10^9\)。

思路

显然，可以把每个点按照 \((x+y)\) 的奇偶性分成 \(X\) 部和 \(Y\) 部，显然，每次操作只能操作一个 \(X\) 部中的点和一个 \(Y\) 部中的点。
假设我们现在有一个 \(v\) 表示最终所有数要变成 \(x\)，使用网络流 \(check\)。
\(s\) 向 \(X\) 部的点 \((x,y)\) 连流量为 \(v-a_{x,y}\) 的边，\(Y\) 部的点 \((x,y)\) 向 \(T\) 连流量为 \(v-a_{x,y}\) 的边，\(X\) 部的点 \((x,y)\) 向 \((x-1,y),(x+1,y),(x,y-1),(x,y+1)\) 分别连流量为 \(+\infty\) 的边。最后如果 \(s\) 到 \(X\) 部点的边和 \(Y\) 部点到 \(t\) 的变全部满流，那么当前的 \(v\) 是合法的，否则不合法。
对于 \(n\times m\) 是奇数的情况，有 \(cnt_X\cdot v-sum_X=cnt_Y\cdot v-sum_Y\)，解得 \(v=\frac{sum_X-sum_Y}{cnt_X-cnt_Y}\)。算出后 \(check\) 一下是否合法。
对于 \(n\times m\) 是偶数的情况，\(n,m\) 中一定有一个偶数，所以可以把整个棋盘全部加一，也就是说答案有单调性，直接二分。

代码

要开 \(long\ long\)。

// Problem: P5038 [SCOI2012] 奇怪的游戏
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P5038
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 4000 ms
// 
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
#define LL long long
const int maxn=50;
const LL inf=10000000000;
int n,m,a[maxn][maxn],bh[maxn][maxn],cnt_bh,fx[10]={0,0,0,1,-1},fy[10]={0,1,-1};
namespace Network_Flow{
    template<int maxn,int maxm>class LSQXX{
    public:
        int head[maxn],nxt[maxm*2],to[maxm*2],cnt=1;
        LL val[maxm*2];
        void add(int u,int v,LL w){nxt[++cnt]=head[u],to[cnt]=v,val[cnt]=w,head[u]=cnt;}
        void clear(){memset(head,0,sizeof(head));cnt=1;}
    };
    LSQXX<maxn*maxn,maxn*maxn*2>e;
    int s,t,cur[maxn*maxn];
    LL d[maxn*maxn];
    void edge_add(int u,int v,LL w){e.add(u,v,w),e.add(v,u,0);}
    bool bfs(){
        for(int i=s;i<=t;i++) d[i]=inf;
        queue<int>q;q.push(s);d[s]=0;
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();q.pop();
            for(int i=e.head[u];i;i=e.nxt[i]){
                int v=e.to[i];
                if(e.val[i]==0) continue;
                if(d[v]>d[u]+1) d[v]=d[u]+1,q.push(v);
            }
        }
        return d[t]!=inf;
    }
    LL dfs(int u,LL flow=inf){
        if(flow==0) return 0;
        if(u==t) return flow;
        LL ans=0;
        for(int&i=cur[u];i;i=e.nxt[i]){
            int v=e.to[i];
            if(d[v]!=d[u]+1) continue;
            if(e.val[i]==0) continue;
            LL new_flow=dfs(v,min(flow,e.val[i]));
            flow-=new_flow,ans+=new_flow;
            e.val[i]-=new_flow,e.val[i^1]+=new_flow;
            if(flow==0) return ans;
        }
        return ans;
    }
    void build(LL x){
        e.clear();
        s=0,t=bh[n][m]+1;
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){
            if((i+j)&1){
                edge_add(bh[i][j],t,x-a[i][j]);
                continue;
            }
            edge_add(s,bh[i][j],x-a[i][j]);
            for(int f=1;f<=4;f++){
                int x=i+fx[f],y=j+fy[f];
                if(x<1||x>n||y<1||y>m) continue;
                edge_add(bh[i][j],bh[x][y],inf*100);
            }
        }
    }
    LL work(){
        LL ans=0;
        while(bfs()){
            for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=e.head[i];
            ans+=dfs(s);
        }
        return ans;
    }
};
bool check(LL x){
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) ans+=x-a[i][j];
    if(ans&1) return 0;
    Network_Flow::build(x);
    if(Network_Flow::work()==ans/2) return 1;
    return 0;
}
LL calc(LL x){
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) ans+=x-a[i][j];
    return ans/2;
}
void solve(){
    read(n,m);
    cnt_bh=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) bh[i][j]=++cnt_bh;
    int maxx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) read(a[i][j]),maxx=max(maxx,a[i][j]);
    LL l=maxx,r=inf,ans=inf;
    if(n%2&&m%2){
        LL sum=0,cnt=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) if((i+j)&1) sum+=a[i][j],cnt++;else sum-=a[i][j],cnt--;
        ans=sum/cnt;
    }
    else{
        while(l<=r){
            LL mid=l+r>>1;
            if(check(mid)) r=mid-1,ans=mid;
            else l=mid+1;
        }
    }
    if(check(ans)) write(calc(ans)),write("\n");
    else write("-1\n");
}
signed main(){
    int T;read(T);
    while(T--) solve();
    return 0;
}