P3851 [TJOI2007] 脱险

题意

给出一张 \(n\times m\) 的地图，每个点是空地，障碍或者出口。现在有很多人在地图中，每个单位时间每个人可以移动一步，移动到出口后可以离开，一个出口在一单位时间内可以离开一个人，问在 \(T\) 单位时间内做多能离开多少人。
\(n,m\le12,T\le50\)。

思路

使用网络流。
把地图分成 \(T\) 层，代表时间，用流量代表探险队员。\(s\) 向第 \(1\) 层队员所在的点连流量为 \(1\) 的边，每层的终点向 \(t\) 连流量为 \(1\) 的边。第 \(i\) 层的空地节点 \((x,y)\)，向 \(i+1\) 层与 \((x,y)\) 四联通的空地节点连边，流量 \(+\infty\)。

代码

// Problem: P3851 [TJOI2007] 脱险
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3851
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
const int inf=1000000000,maxn=20,maxt=60;
char a[maxn][maxn];
int n,m,T,bh[maxn][maxn],fx[10]={0,0,0,1,-1},fy[10]={0,1,-1};
template<int maxn,int maxm>class LSQXX{
public:
    int head[maxn],nxt[maxm*2],to[maxm*2],val[maxm*2],cnt=1;
    void add(int u,int v,int w){nxt[++cnt]=head[u],to[cnt]=v,val[cnt]=w,head[u]=cnt;}
};
int get_bh(int x,int y,int t){return t*n*m+bh[x][y];}
class Network_Flow{
private:
    LSQXX<maxn*maxn*maxt,maxn*maxn*maxt*5>e;
    int s,t,d[maxn*maxn*maxt],cur[maxn*maxn*maxt];
    void edge_add(int u,int v,int w){e.add(u,v,w),e.add(v,u,0);}
    bool bfs(){
        for(int i=s;i<=t;i++) d[i]=inf;
        queue<int>q;d[s]=0;q.push(s);
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();q.pop();
            for(int i=e.head[u];i;i=e.nxt[i]){
                int v=e.to[i];
                if(e.val[i]==0) continue;
                if(d[v]>d[u]+1) d[v]=d[u]+1,q.push(v);
            }
        }
        return d[t]!=inf;
    }
    int dfs(int u,int flow=inf){
        if(flow==0||u==t) return flow;
        int ans=0;
        for(int&i=cur[u];i;i=e.nxt[i]){
            int v=e.to[i];
            if(d[v]!=d[u]+1) continue;
            int new_flow=dfs(v,min(flow,e.val[i]));
            ans+=new_flow,flow-=new_flow;
            e.val[i]-=new_flow,e.val[i^1]+=new_flow;
            if(flow==0) return ans;
        }
        return ans;
    }
public:
    void build(){
        s=0,t=get_bh(n,m,T)+1;
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) if(a[i][j]=='P') edge_add(s,get_bh(i,j,0),1);
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){
            if(a[i][j]=='O') for(int ti=0;ti<=T;ti++) edge_add(get_bh(i,j,ti),t,1);
            if(a[i][j]=='*'||a[i][j]=='O') continue;
            for(int f=0;f<=4;f++){
                int x=i+fx[f],y=j+fy[f];
                if(x<1||x>n||y<1|y>m) continue;
                if(a[x][y]=='*') continue;
                for(int ti=0;ti<T;ti++) edge_add(get_bh(i,j,ti),get_bh(x,y,ti+1),inf);
            }
        }
    }
    int work(){
        int ans=0;
        while(bfs()){
            for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=e.head[i];
            ans+=dfs(s);
        }
        return ans;
    }
}wll;
signed main(){
    read(n,m,T);
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) read(a[i][j]);
    int cnt_bh=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) bh[i][j]=++cnt_bh;
    wll.build();
    write(wll.work());
    return 0;
}