P4589 [TJOI2018] 智力竞赛

题意

给一个 \(m\) 个点的 \(DAG\)，点有点权。你需要在上面选出 \(n+1\) 条链，使得没有被覆盖的点的权值最小值最大。如果可以选中所有点，那么输出 \(AK\)。

思路

先二分一个答案，把小于这个答案的点都标记成关键点，用费用流，用流量表示人，用费用限制让人尽量做关键点，另关键点数量为 \(cnt\)。
把一个题目节点 \(x\) 拆成两个，表示入 \((x_0)\) 和出 \((x_1)\)，对于关键点入点向出点连 \(2\) 条边，一条费用 \(-1\)，流量 \(1\)，另一条费用 \(0\)，流量 \(\infty\)。对于非关键点，入点向出点连 \(1\) 条费用 \(0\)，流量 \(\infty\) 的边。
对于一个题目 \(u\) 和祂的所有后继 \(v\)，从 \(u_1\) 向 \(v_0\) 连 \(1\) 条费用 \(0\)，流量 \(\infty\) 的边。
新建一个虚拟节点，用来限制人数， \(s\) 向这个点连一条流量 \(n+1\)，费用 \(0\) 的边。虚拟节点向所有题目连 \(1\) 条费用 \(0\)，流量 \(\infty\) 的边。
每个题目节点向 \(t\) 连费用 \(0\)，流量 \(\infty\) 的边。
跑费用流，如果总费用等于 \(-cnt\)，那么这个答案是合法的，否则不合法。

代码

/*
Luogu P4589 [TJOI2018] 智力竞赛
2026-24-24
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
const int maxn=50,maxm=510,inf=1000000000;
int n,m,gs,p[maxm];
struct problem{
    int v,k,nt[maxm];
    friend void read(problem&x){
        read(x.v,x.k);
        for(int i=1;i<=x.k;i++) read(x.nt[i]);
    }
}a[maxm];
template<int maxn,int maxm>struct LSQXX{
    int head[maxn],nxt[maxm*2],to[maxm*2],val[maxm*2],cost[maxm*2],cnt=1;
    void add(int u,int v,int z,int c){nxt[++cnt]=head[u],to[cnt]=v,val[cnt]=z,cost[cnt]=c,head[u]=cnt;}
    void clear(){memset(head,0,sizeof(head)),cnt=1;}
};
class Network_Flow{
private:
    LSQXX<maxm*2,maxm*maxm>e;
    int cur[maxm*2],s,t,ans2,dis[maxm*2];
    bool inque[maxm*2],vis[maxm*2];
    void edge_add(int u,int v,int w,int z){e.add(u,v,w,z),e.add(v,u,0,-z);}
    int bh_in(int x){return x*2-1;}
    int bh_out(int x){return x*2;}
    bool spfa(){
        for(int i=s;i<=t;i++) inque[i]=0,dis[i]=inf;
        queue<int>q;q.push(s);dis[s]=0;
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();q.pop();inque[u]=0;
            for(int i=e.head[u];i;i=e.nxt[i]){
                int v=e.to[i];
                if(e.val[i]==0) continue;
                if(dis[v]>dis[u]+e.cost[i]){
                    dis[v]=dis[u]+e.cost[i];
                    if(!inque[v]) q.push(v),inque[v]=1;
                }
            }
        }
        return dis[t]!=inf;
    }
    int dfs(int u,int flow=inf){
        if(flow==0||u==t) return flow;
        int ans=0;
        if(vis[u]) return 0;vis[u]=1;
        for(int&i=cur[u];i;i=e.nxt[i]){
            int v=e.to[i];
            if(dis[v]!=dis[u]+e.cost[i]) continue;
            int new_flow=dfs(v,min(flow,e.val[i]));
            flow-=new_flow,ans+=new_flow,ans2+=new_flow*e.cost[i];
            e.val[i]-=new_flow,e.val[i^1]+=new_flow;
            if(flow==0) return vis[u]=0,ans;
        }
        vis[u]=0;
        return ans;
    }
public:
    void build(int x){
        e.clear(),gs=0;
        s=0,t=m*2+2;
        int xn=m*2+1;
        edge_add(s,xn,n+1,0);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(a[i].v<x) edge_add(bh_in(i),bh_out(i),1,-1),gs++;
            edge_add(bh_in(i),bh_out(i),inf,0);
            edge_add(xn,bh_in(i),inf,0);
            edge_add(bh_out(i),t,inf,0);
            for(int j=1;j<=a[i].k;j++) edge_add(bh_out(i),bh_in(a[i].nt[j]),inf,0);
        }
    }
    int work(){
        ans2=0;
        while(spfa()){
            for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=e.head[i];
            dfs(s);
        }
        return ans2;
    }
}wll;
bool check(int x){
    wll.build(x);
    return -wll.work()==gs;
}
signed main(){
    read(n,m);
    for(int i=1;i<=m;i++) read(a[i]),p[i]=a[i].v;
    sort(p+1,p+1+m);
    p[m+1]=inf;
    int l=1,r=m+1,ans=1;
    while(l<=r){
        int mid=l+r>>1;
        if(check(p[mid])) l=mid+1,ans=mid;
        else r=mid-1;
    }
    if(ans==m+1) write("AK");
    else write(p[ans]);
    return 0;
}