P4563 [JXOI2018] 守卫

题意

有 \(n\) 座山，第 \(i\) 座山是一个从 \((i,0)\) 到 \((i,h_i)\) 的线段。对于两个点 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\)，后者看不到前者定义为 \(x1>x2\) 或祂们之间的连线穿过了其祂的山（定点也不行）。
现在对于一个区间 \([l,r]\)，求在山 \(i\in[l,r]\) 上布置监控，使得祂们能看到所有 \([l,r]\) 中的山的山顶，记为 \(f_{l,r}\)。
求所有 \(f_{l,r}\) 的异或和。
\(n\le 5000,h_i\le10^9\)。

题解

对于一个区间 \([l,r]\)，位置 \(r\) 是肯定要放置的，因为除了祂，没有点能看到祂。
把 \(r\) 选中，那么会有一些点祂能看到，设为 \(a_1,a_2,\dots,a_k\)，那么令 \(a_0=l-1\),有转移 \(f_{l,r}=\sum_{i<k}\min(f_{a_i+1,a_{i+1}-1},f_{a_i+1,a_{i+1}})\)，优化一下，变成 \(f_{l,r}=\min(f_{l,a_1-1},f_{l,a_1})+f_{a_1+1,r}\)。时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。

代码

/*
Luogu P4563 [JXOI2018] 守卫
2026-04-10
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
const int maxn=5010;
int n,f[maxn][maxn],h[maxn];
double calc(int i,int j){return (h[j]-h[i])*1.0/(j-i);}
signed main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(h[i]);
    for(int r=1;r<=n;r++){
        int lt=r;
        f[r][r]=1;
        for(int l=r-1;l>=1;l--){
            f[l][r]=1;
            if(lt==r||1ll*(h[r]-h[l])*(r-lt)<1ll*(h[r]-h[lt])*(r-l)){
                f[l][r]=f[l+1][r];
                lt=l;
            }
            else f[l][r]=min(f[l][lt-1],f[l][lt])+f[lt][r];
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) ans^=f[i][j];
    write(ans);
    return 0;
}