P3713 [BJOI2017] 机动训练

题意

给一张 \(n\times m\) 的网格图，每个点有一个字符。
对于一条路径，如果每一步离终点的曼哈顿距离都变小了，那么祂是合法的。
对于两条路径，如果把祂们经过的点的上的字符拼起来得到的字符串相同，那么称祂们是同一类的。
求出每个类的路径数量的平方的和，对 \(10^9+7\) 取模。
\(n,m\le30\)。

思路

考虑两个人走，统计走出来的合法且两条路径属于同一类的方案数。容易发现，这个东西和每个类的路径数量的平方的和是相等的。
观察合法的路径，发现只有一下几种组合：

1. 上，右上，右。
2. 上，左上，左。
3. 下，右下，右。
4. 下，左下，左。

对两个人分别枚举一个方向然后跑记忆化搜索即可。
但是这样会算重。比如一个人一直向左走，那么祂的路径会在 \(2\) 和 \(4\) 两个方向中被统计。所以需要容斥，把其中一个人只走上，左，下，右四个方向中的一个的方案数减掉，再把两个人都只走上，左，下，右四个方向中的一个的方案数加上。

代码

/*
Luogu P3713 [BJOI2017] 机动训练
2026-04-17
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
template<int mod>struct Modint{
    int z;
    Modint(){z=0;}
    Modint(int x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(long long x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(short x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(char x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(bool x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    friend Modint operator+(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z+t2.z)%mod;return ans;}
    friend Modint operator*(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=1ll*t.z*t2.z%mod;return ans;}
    friend Modint operator-(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z-t2.z)%mod;return ans;}
    Modint operator<<(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z<<t)%mod;return ans;}
    Modint operator>>(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z>>t)%mod;return ans;}
    Modint&operator+=(const Modint t){z=(z+t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator*=(const Modint t){z=1ll*z*t.z%mod;return *this;}
    Modint&operator-=(const Modint t){z=(z-t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator<<=(const int t){z=(z<<t)%mod;return *this;}
    Modint&operator>>=(const int t){z=(z>>t)%mod;return *this;}
    Modint&operator++(){z++,z%=mod;return *this;}
    Modint&operator--(){z--,z%=mod;return *this;}
    Modint operator++(int){Modint ls=*this;z++,z%=mod;return ls;}
    Modint operator--(int){Modint ls=*this;z--,z%=mod;return ls;}
    friend Modint ksm(Modint a,int b){
        Modint ans=1;
        while(b){if(b&1) ans=ans*a;a=a*a,b>>=1;}
        return ans;
    }
    friend void read(Modint&z){
        int x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=(x*10ll+c-'0')%mod,c=getchar();
        f?x=-x:0;
        z.z=x;
    }
    friend void write(Modint x){x.z<0?x.z+=mod:0;write(x.z);}
};
int fx[10][10]={
{-1,-1,0},
{-1,-1,0},
{0,1,1},
{1,1,0},
{-1},
{0},
{1},
{0},
};
int fy[10][10]={
{0,-1,-1},
{0,1,1},
{1,1,0},
{0,-1,-1},
{0},
{1},
{0},
{-1},
};
int sz[10]={3,3,3,3,1,1,1,1};
const int maxn=50,mod=1000000009;
#define M Modint<mod>
int n,m;
M f[maxn][maxn][maxn][maxn],ans;
bool vis[maxn][maxn][maxn][maxn];
char c[maxn][maxn];
M dfs(int x,int y,int xx,int yy,int f1,int f2){
    if(x<1||x>n||y<1||y>m) return 0;
    if(xx<1||xx>n||yy<1||yy>m) return 0;
    if(c[x][y]!=c[xx][yy]) return 0;
    if(vis[x][y][xx][yy]) return f[x][y][xx][yy];
    M&ans=f[x][y][xx][yy];ans=1;vis[x][y][xx][yy]=1;
    for(int i=0;i<sz[f1];i++) for(int j=0;j<sz[f2];j++){
        int nxt_x=x+fx[f1][i],nxt_y=y+fy[f1][i];
        int nxt_xx=xx+fx[f2][j],nxt_yy=yy+fy[f2][j];
        ans+=dfs(nxt_x,nxt_y,nxt_xx,nxt_yy,f1,f2);
    }
    return ans;
}
signed main(){
    read(n,m);
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) read(c[i][j]);
    M ans;
    for(int i=0;i<8;i++) for(int j=0;j<8;j++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        M sum=0;
        for(int x=1;x<=n;x++) for(int y=1;y<=m;y++) for(int xx=1;xx<=n;xx++) for(int yy=1;yy<=m;yy++)
        sum+=dfs(x,y,xx,yy,i,j);
        if(i<4&&j<4) ans+=sum;
        else if(i>=4&&j>=4) ans+=sum;
        else ans-=sum;
    }
    write(ans);
    return 0;
}