P4561 [JXOI2018] 排序问题

题意

有一个序列，现在要在结尾加上 \(m\) 个 \([l,r]\) 之间的数，求在所有方案中，猴子排序（每次随机一个排列，检查是否有序）的次数期望最大次数。

思路

假设最终的序列中数 \(i\) 出现的次数是 \(c_i\)，那么合法的 \(p\) 的数量为 \(\prod_ic_i!\)，为了使方案数尽可能少，我们需要让 数的个数分配的更平均。
求出 \([l,r]\) 之间出现 \(i\) 次的数有几个，按照存在的 \(i\) 由小到大遍历，如果剩余的次数能够把所有次数 \(<i\) 的数的出现次数都变为 \(i\)，那么把祂们都变为 \(i\)，否则平均分配。
答案为合法的 \(p\) 数量比 \((n+m)!\)。

代码

/*
Luogu P4561 [JXOI2018] 排序问题
2026-04-09
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
template<int mod>struct Modint{
    int z;
    Modint(){z=0;}
    Modint(int x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(long long x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(short x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(char x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(bool x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    friend Modint operator+(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z+t2.z)%mod;return ans;}
    friend Modint operator*(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=1ll*t.z*t2.z%mod;return ans;}
    friend Modint operator-(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z-t2.z)%mod;return ans;}
    Modint operator<<(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z<<t)%mod;return ans;}
    Modint operator>>(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z>>t)%mod;return ans;}
    Modint&operator+=(const Modint t){z=(z+t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator*=(const Modint t){z=1ll*z*t.z%mod;return *this;}
    Modint&operator-=(const Modint t){z=(z-t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator<<=(const int t){z=(z<<t)%mod;return *this;}
    Modint&operator>>=(const int t){z=(z>>t)%mod;return *this;}
    Modint&operator++(){z++,z%=mod;return *this;}
    Modint&operator--(){z--,z%=mod;return *this;}
    Modint operator++(int){Modint ls=*this;z++,z%=mod;return ls;}
    Modint operator--(int){Modint ls=*this;z--,z%=mod;return ls;}
    friend Modint ksm(Modint a,int b){
        Modint ans=1;
        while(b){if(b&1) ans=ans*a;a=a*a,b>>=1;}
        return ans;
    }
    friend void read(Modint&z){
        int x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=(x*10ll+c-'0')%mod,c=getchar();
        f?x=-x:0;
        z.z=x;
    }
    friend void write(Modint x){x.z<0?x.z+=mod:0;write(x.z);}
};
const int mod=998244353,maxn=200010,maxm=10000010;
#define M Modint<mod>
M jc[maxn+maxm];
int n,m,l,r,a[maxn],cnt_h;
struct node{int val,cnt;}h[maxn];
map<int,int>mp,mpp;
void solve(){
    M ans=1;
    mp.clear(),mpp.clear();
    read(n,m,l,r);
    int ls=m+n;
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),mp[a[i]]++;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(l<=a[i]&&a[i]<=r) continue;
        ans*=jc[mp[a[i]]];mp[a[i]]=0;
    }
    cnt_h=0;
    for(auto[val,cnt]:mp) if(l<=val&&val<=r) mpp[cnt]++;
    for(auto[val,cnt]:mpp) h[++cnt_h]={val,cnt};
    sort(h+1,h+1+cnt_h,[](node a,node b){return a.val<b.val;});
    h[0].cnt=r-l+1;
    for(int i=1;i<=cnt_h;i++) h[0].cnt-=h[i].cnt;
    int now_cnt=h[0].cnt;
    h[++cnt_h].val=2000000000;
    for(int i=1;i<=cnt_h;i++){
        int c=h[i].val-h[i-1].val;
        if(1ll*c*now_cnt<=m){
            m-=c*now_cnt;
            now_cnt+=h[i].cnt;
            continue;
        }
        int z=h[i-1].val+m/now_cnt,sy=m%now_cnt;
        ans*=ksm(jc[z],now_cnt)*ksm(M(z+1),sy);
        for(int j=i;j<=cnt_h-1;j++) ans*=ksm(jc[h[j].val],h[j].cnt);
        break;
    }
    write(jc[ls]*ksm(ans,mod-2)),write("\n");
}
signed main(){
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=10200000;i++) jc[i]=jc[i-1]*i;
    int T;read(T);
    while(T--) solve();
    return 0;
}