P3705 [SDOI2017] 新生舞会

题意

\(n\) 个男生和 \(n\) 个女生，第 \(i\) 个男生和第 \(j\) 个女生配对的和谐度为 \(a_{i,j}\)，不和谐度为 \(b_{i,j}\)，求一个 \([1,n]\rightarrow[1,n]\) 的双射 \(f\) 使得 \(\frac{\sum_{i=1}^na_{i,f(i)}}{\sum_{i=1}^nb_{i,f(i)}}\) 最大。

思路

考虑分数规划。
二分一个 \(mid\)，令 \(c_{i,j}=a_{i,j}-mid\cdot b_{i,j}\)，那么现在要找一个 \([1,n]\rightarrow[1,n]\) 的双射 \(f\)，使得 \(c_{i,f_i}\) 之和最大。
直接使用km费用流。

代码

没写 \(double\),把每个数乘了 \(1000000\)，变成 \(long long\)

/*
Luogu P3705 [SDOI2017] 新生舞会
2026-04-08
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
#define LL long long
const int maxn=110;
const LL inf=10000000000000000;
const double eps=1e-8;
int n,a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
LL c[maxn][maxn];
template<int maxn,int maxm>struct LSQXX{
    int head[maxn],nxt[maxm*2],to[maxm*2],val[maxm*2],cnt=1;
    LL cost[maxm*2];
    void add(int u,int v,int z,LL c){nxt[++cnt]=head[u],to[cnt]=v,val[cnt]=z,cost[cnt]=c,head[u]=cnt;}
    void clear(){memset(head,0,sizeof(head)),cnt=1;}
};
class Network_Flow{
private:
    LSQXX<maxn*2,maxn*maxn>e;
    int cur[maxn*2],s,t;
    LL ans2,dis[maxn*2];
    bool inque[maxn*2],vis[maxn*2];
    void edge_add(int u,int v,int w,LL z){e.add(u,v,w,-z),e.add(v,u,0,z);}
    bool spfa(){
        for(int i=s;i<=t;i++) inque[i]=0,dis[i]=inf;
        queue<int>q;q.push(s);dis[s]=0;
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();q.pop();inque[u]=0;
            for(int i=e.head[u];i;i=e.nxt[i]){
                int v=e.to[i];
                if(e.val[i]==0) continue;
                if(dis[v]>dis[u]+e.cost[i]){
                    dis[v]=dis[u]+e.cost[i];
                    if(!inque[v]) q.push(v),inque[v]=1;
                }
            }
        }
        return dis[t]!=inf;
    }
    int dfs(int u,int flow=100){
        if(flow==0||u==t) return flow;
        int ans=0;
        if(vis[u]) return 0;vis[u]=1;
        for(int&i=cur[u];i;i=e.nxt[i]){
            int v=e.to[i];
            if(dis[v]!=dis[u]+e.cost[i]) continue;
            int new_flow=dfs(v,min(flow,e.val[i]));
            flow-=new_flow,ans+=new_flow,ans2+=new_flow*e.cost[i];
            e.val[i]-=new_flow,e.val[i^1]+=new_flow;
            if(flow==0) return vis[u]=0,ans;
        }
        vis[u]=0;
        return ans;
    }
public:
    void build(double mid){
        s=0,t=n*2+1;
        e.clear();
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++){
            double z=a[i][j]-b[i][j]*mid;
            c[i][j]=z*1000000;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) edge_add(s,i,1,0),edge_add(i+n,t,1,0);
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) edge_add(i,j+n,1,c[i][j]);
    }
    LL work(){
        ans2=0;
        while(spfa()){
            for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=e.head[i];
            dfs(s);
        }
        return -ans2;
    }
}wll;
signed main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) read(a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) read(b[i][j]);
    double l=0,r=1000000,ans=0;
    while(l+eps<r){
        double mid=(l+r)/2;
        wll.build(mid);
        if(wll.work()>=0) l=mid+eps,ans=mid;
        else r=mid-eps;
    }
    printf("%.6lf",ans);
    return 0;
}