P3687 [ZJOI2017] 仙人掌

题意

给定一张图，求在其基础上加一些边，使得祂变成仙人掌的方案数。

思路

神仙题。
首先判断原图是否是仙人掌，如果不是，那么无论如何往里面加边都无法使其变成仙人掌，此时直接输出 \(0\)。
对于两个点 \(u,v\) 如果 \(u\) 到 \(v\) 的路径上有环，那么 \(u,v\) 之间一定不能加一条边，也就是说，每个环都把原图分成了不相干的几部分，每个部分都是一棵树，而答案就是把所有树的答案乘起来。
现在考虑树上怎么做。设 \(h_i\) 表示 \(i+1\) 个节点的菊花图，根结点固定的方案数。显然 \(h_i=h_{i-1}+(i-1)\times h_{i-2}\)。设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树中，有一个点可以向外连边的方案数。令 \(sz=\left|son(u)\right|\)，有转移 \(f_u=h_{sz}\cdot\prod_{v\in son(u)}f_v+sz\cdot h_{sz-1}\cdot\prod_{v\in son(u)}f_v\)。其中 \(f_u=h_{sz}\cdot\prod_{v\in son(u)}f_v\) 表示向上连的那个节点是 \(u\) 的方案数，\(sz\cdot h_{sz-1}\cdot\prod_{v\in son(u)}f_v\) 表示向上连的那个节点是 \(u\) 的儿子的方案数，根据 \(h\) 的递推式可得 \(f_u=h_{sz+1}\cdot\prod_{v\in son(u)}f_v\)。
由于根节点不需要向上连，所以当前这颗树的答案为 \(h_{\left|son(rt)\right|}\prod_{v\in son(u)}f_v\)。

代码

为了偷懒，判断仙人掌和找环没写 \(tarjan\)。

/*
Luogu P3687 [ZJOI2017] 仙人掌
2026-04-03
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
template<int mod>struct Modint{
    int z;
    Modint(){z=0;}
    Modint(int x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(long long x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(short x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(char x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(bool x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    friend Modint operator+(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z+t2.z)%mod;return ans;}
    friend Modint operator*(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=1ll*t.z*t2.z%mod;return ans;}
    friend Modint operator-(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z-t2.z)%mod;return ans;}
    Modint operator<<(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z<<t)%mod;return ans;}
    Modint operator>>(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z>>t)%mod;return ans;}
    Modint&operator+=(const Modint t){z=(z+t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator*=(const Modint t){z=1ll*z*t.z%mod;return *this;}
    Modint&operator-=(const Modint t){z=(z-t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator<<=(const int t){z=(z<<t)%mod;return *this;}
    Modint&operator>>=(const int t){z=(z>>t)%mod;return *this;}
    Modint&operator++(){z++,z%=mod;return *this;}
    Modint&operator--(){z--,z%=mod;return *this;}
    Modint operator++(int){Modint ls=*this;z++,z%=mod;return ls;}
    Modint operator--(int){Modint ls=*this;z--,z%=mod;return ls;}
    friend Modint ksm(Modint a,int b){
        Modint ans=1;
        while(b){if(b&1) ans=ans*a;a=a*a,b>>=1;}
        return ans;
    }
    friend void read(Modint&z){
        int x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=(x*10ll+c-'0')%mod,c=getchar();
        f?x=-x:0;
        z.z=x;
    }
    friend void write(Modint x){x.z<0?x.z+=mod:0;write(x.z);}
};
const int mod=998244353,maxn=500010,maxm=1000010;
#define M Modint<mod>
int T,n,m,deep[maxn],fa_id[maxn],fa[maxn];
bool vis[maxn],can[maxm];
vector<pair<int,int>>e[maxn];
M h[maxn],f[maxn];
bool mark(int u,int v){
    while(u!=v){
        if(deep[u]<deep[v]) swap(u,v);
        if(can[fa_id[u]]) return 1;
        can[fa_id[u]]=1;
        u=fa[u];
    }
    return 0;
}
bool dfs(int u,int fa=0){
    vis[u]=1;
    deep[u]=deep[fa]+1;
    for(auto[v,id]:e[u]){
        if(v==fa||can[id]) continue;
        if(vis[v]){
            can[id]=1;
            if(mark(u,v)) return 1;
            continue;
        }
        fa_id[v]=id,::fa[v]=u;
        if(dfs(v,u)) return 1;
    }
    return 0;
}
void dp(int u,int fa=0){
    vis[u]=1,f[u]=1;
    int ch=0;
    for(auto[v,id]:e[u]){
        if(v==fa||can[id]) continue;
        dp(v,u);
        ch++;f[u]*=f[v];
    }
    f[u]*=h[ch+1];
}
void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++) e[i].clear(),vis[i]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++) can[i]=0;
    read(n,m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;read(u,v);
        e[u].push_back({v,i}),e[v].push_back({u,i});
    }
    if(dfs(1)){write("0\n");return ;}
    for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=0;
    M ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(vis[i]) continue;
        dp(i);
        M ls=1;
        int ch=0;
        for(auto[v,id]:e[i]){
            if(can[id]) continue;
            ch++;ls*=f[v];
        }
        ls*=h[ch];
        ans*=ls;
    }
    write(ans),write("\n");
}
signed main(){
    h[0]=1,h[1]=1;
    for(int i=1;i<=500000;i++) h[i]=h[i-1]+h[i-2]*(i-1);
    read(T);
    while(T--) solve();
    return 0;
}