P3349 [ZJOI2016] 小星星

题意

给一张图和一棵树，求满足条件的双射 \(f\) 数量：对于点 \(u,v\)，如果祂们在树上又边相连，那么图上必定有边 \((f(u),f(v))\)。

思路

考虑使用容斥。
枚举一个集合 \(s\) 表示把树上的点映射到图上的那些点上。然后设 \(f_{u,i}\) 表示把 树上的 \(u\) 映射到图上的 \(i\)，\(u\) 的子树随便映射（必须在 \(s\) 内）并且这个映射合法的方案数。
设 \(w\) 是 \(i\) 在图上的一个邻接点,显然 \(f_{u,i}=\prod_{v\in son(u)}\sum_{w}f_{v,w}\)。
但是这样是会算重的。所以对于一个集合 \(s\)，祂的答案要乘上容斥系数 \((-1)^{n-\left|s\right|}\)。

代码

要开 \(long\ long\)。

/*
Luogu P3349 [ZJOI2016] 小星星
2026-04-03
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
#define ll long long
const int maxn=20;
int n,m,sta;
ll f[maxn][maxn];
vector<int>e[maxn],ee[maxn];
void dfs(int u,int fa=0){
    for(int i=1;i<=n;i++) if(sta&(1<<i-1)) f[u][i]=1;else f[u][i]=0;
    for(int v:e[u]){
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        for(int d=1;d<=n;d++){
            if(!(sta&(1<<d-1))) continue;
            ll h=0;
            for(int vv:ee[d]) if(sta&(1<<vv-1)) h+=f[v][vv];
            f[u][d]*=h;
        }
    }
}
signed main(){
    read(n,m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;read(u,v);
        ee[u].push_back(v),ee[v].push_back(u);
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;read(u,v);
        e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);
    }
    ll ans=0;
    for(sta=0;sta<(1<<n);sta++){
        dfs(1);
        ll h=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) h+=f[1][i];
        if(n-__builtin_popcount(sta)&1) ans-=h;
        else ans+=h;
    }
    write(ans);
    return 0;
}