P4492 [HAOI2018] 苹果树

先考虑 \(n\) 个点的一棵树有多少种方案。设当前是第 \(i\) 次加点，则有 \(i\) 种方法把这个点加进来，因为第一次有一种方案，每加一个点就多一个分支。所以按照这个画法 \(n\) 个点的树有 \(n!\) 种方案。
考虑差贡献，对于一条边，在祂两边的所有点能互相产生贡献。
把第一天长出的点当作根节点，把树变成有根树。
先枚举在当前计算的那条边加进来时有几个点，设这个数位 \(u\)，再枚举这条边所连的两个节点中深度较小的那个点最终的子树大小 \(i\)。那么这条边的贡献是 \(2(n-i)\cdot i\cdot C_{n-u}^i\cdot i!\cdot(n-i-1)!\cdot u\) 其中 \(2(n-i)\cdot i\) 是贡献，\(C_{n-u}^i\) 是在剩下的点钟选出 \(i\) 个在这条边所连的两个节点中深度较小的那个点最终的子树中，\(i!\cdot(n-i-1)!\) 是剩下的点构成树的方案。然后直接计算答案即可，时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。

代码

要用递推计算组合数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T&x){
        x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
        f?x=-x:0;
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x==0){putchar('0');return ;}
        x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
        while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
        while(top) putchar(st[top--]+'0');
    }
    inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
    inline void write(char c){putchar(c);}
    inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
    inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
    template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
    template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
    template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
const int maxn=2010;
int n,mod;
struct Modint{
    int z;
    Modint(){z=0;}
    Modint(int x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(long long x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(short x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(char x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    Modint(bool x){x%=mod;z=x<0?x+mod:x;}
    friend Modint operator+(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z+t2.z)%mod;return ans;}
    friend Modint operator*(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=1ll*t.z*t2.z%mod;return ans;}
    friend Modint operator-(Modint t,Modint t2){Modint ans;ans.z=(t.z-t2.z)%mod;return ans;}
    Modint operator<<(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z<<t)%mod;return ans;}
    Modint operator>>(const int t)const{Modint ans;ans.z=(z>>t)%mod;return ans;}
    Modint&operator+=(const Modint t){z=(z+t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator*=(const Modint t){z=1ll*z*t.z%mod;return *this;}
    Modint&operator-=(const Modint t){z=(z-t.z)%mod;return *this;}
    Modint&operator<<=(const int t){z=(z<<t)%mod;return *this;}
    Modint&operator>>=(const int t){z=(z>>t)%mod;return *this;}
    friend Modint ksm(Modint a,int b){
        Modint ans=1;
        while(b){if(b&1) ans=ans*a;a=a*a,b>>=1;}
        return ans;
    }
    friend void read(Modint&z){
        int x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
        while(isdigit(c)) x=(x*10ll+c-'0')%mod,c=getchar();
        f?x=-x:0;
        z.z=x;
    }
    friend void write(Modint x){x.z<0?x.z+=mod:0;write(x.z);}
};
#define M Modint
M jc[maxn],ans,inv[maxn],c[maxn][maxn];
M C(int n,int m){return c[n][m];}
signed main(){
    read(n,mod);
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i;
    for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
    for(int u=1;u<=n;u++) for(int i=1;i+u<=n;i++) ans+=2*C(n-u,i)*(n-i)*u*jc[i]*jc[n-i-1]*i;
    write(ans);
    return 0;
}