笔记-数据结构进阶

笔记：数据结构

1.语言+算法+数据结构=信息奥赛

数据的存放方式，体现了数据结构
数据结构=数据+结构，结构指储存、操作、关系。

2.线性结构

2.1集合的表示

若用set储存，则需要用insert插入元素，因为set是一颗红黑树。
由于set里面元素单调，可用\(O(\log{n})\)二分法查找，

数组：连续的一段储存空间

可\(O(1)\)查询特定编号的元素，

链表：链式结构

若动态指针实现，则可以做到：

struct node{
	int data;
    node *next;
};
node *head;

核心代码：

head=new node;
r=head;//r是一个工作指针，也就是“扫描头”
while(cin>>x){
	p=new node;
    p->data=x;
    p->next=NULL;
    r->next=p;
    r=p;
}

应用：图的链接表储存法

1.动态分配内存空间

2.快速插入一个节点

//在p和q之间插入数值x
node *r=new node;
r->data=x;
r->next=&q;
p.next=r;

若用静态数组来描述链表，则用\(data_i\)表示第i个元素的data值，用\(next_i\)表示第i个元素的下一个元素值

应用：链式前向星

struct node{
	int data;
}V[nmax];
struct edge{
	int to,w,next;
}E[mmax];

实现：

void add(int u,int v,int w)
{
	E[++cnt].next=head[u];
    E[cnt].to=v;
    E[cnt].w=w;
    head[u]=cnt;
}

栈:FILO

应用：进制转换，括号匹配，中缀表达式转后缀

\(3*8-(6-2)/(3+4)\) ==> \(3,8,*,6,2,-,3,4,+,/,-\)

\(f(t)=-ce^{-kt}+\int{f_e(t)e^{-kt}dt}\) ==>

\(t,f=-c,-k,t,*,exp,*,t,f_e,-k,t,*,exp,*,\int{dt},+\)

表达式压栈规则：
\(op(v)=\begin{cases}pop(),\text{pri}(v)<\text{pri}(s.head())\\push(v),else\end{cases}\)

单调栈：
\(op(v)=\begin{cases}pop(),v<s.head()\\push(v),else\end{cases}\)

这样栈里的元素就是单调的了。

e.g.Histogram

给出一个柱状统计图，他的每一个项目的宽度是1，高度和具体问题有关，求柱状图中最大长方形面积。

即：给定\(\{a_i\}\),求出\(ans=\max\limits_{1\leq{j}<i\leq{n}}{\{(j-i+1)*h_{i,j}\}}\)

其中\(h_{i,j}=\min\limits_{i\leq{\mu}\leq{j}}a_{\mu}\)

int top=0,s[maxn];
int Area=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	while(top&&h[s[top]]>=h[i])
    	--top;
    L[i]=(top==0?1:s[top]+1);
    s[++top]=i;
}

e.g.求最长不下降子序列

优化单调栈：\(\text{insert}(i,x)=\begin{cases}\text{insert}(i-1,x),v>s_i\\s_i=v,else\end{cases}\)

队列：FIFO

e.g.集合划分

给定集合\(A=\{a_n\}\)和由01矩阵构成的冲突关系\(R_{ij}=\begin{cases}0,\text{i,j无冲突关系}\\1,\text{i,j有冲突关系}\end{cases}\),且\(R_{ij}=R_{ji}\),\(R_{ii}=0,i,j=1,2,...,n\),将\(A\)划分成\(k\)个互不相交的子集，且对于任意子集\(A_i\)和\(x,y\in{A_i}\),都有\(R_{xy}=0\)，求出使得k最小的划分方案。

分析:申请以下变量：

int R[nmax][nmax];//冲突矩阵
int newr[nmax];//工作数组
int cq[nmax];//循环队列
int result[nmax];//记录分组数
int group=1;//记录总共组数

工作过程：

\((1)\ cq_i\gets{A_i}\quad newr\gets{\{0\}}\quad result\gets{\{0\}}\)

\((2)\ newr_i\gets{R_{\mu,i}}\)

\((3)\ v\gets{cq.\text{head()}}\quad cq.\text{pop()}\)

\(\quad \text{op}(v)=\begin{cases}\text{push}(v),\quad R_{\mu,v}=1\\newr_i\gets{R_v,i},\quad else\end{cases}\)

$(4)\ \mu \ \text{from 1 to n do (1) to (3) until}\ cq \ \text{is empty} $

e.g.滑动窗口