[群论] Burnside 引理的证明

近年来群论几乎都没在 OI 中出现过，所以看这篇文章也就图一乐...（当然考题变化无常，变化无常啊）

先说以下 Burnside 引理：

对于一个作用在目标集 \(S=\{1,2,\cdots,n\}\) 上的置换群 \(G=\{g_1,g_2,\cdots,g_m;*\}\) ：

若在 \(g_i\) 作用下 \(S\) 中元素 \(k\) 不变，则称 \(k\) 为 \(g_i\) 的不动点。由群的定义可证所有使 \(k\) 不动的 \(g_i\) 与运算符 \(*\) 构成一个 \(G\) 的子群 \(G_k\) 。

若 \(S\) 中两个元素 \(i,j\) 满足 \(i\) 通过 \(G\) 的置换能变换到 \(j\)，则称 \(i\) 与 \(j\) 等价。由群的定义可知等价关系具有传递性，所以我们可以将 \(S\) 根据等价关系划分为 \(p\) 个等价类，使得每类中的任二元素等价，不同类间的元素均不等价。

对 \(p\) 计数的应用较为广泛，例如求若干阶魔方 \(M\) 的状态个数时，可以先观察初始状态（例如复原情况）与基本变换（LRUDBF等）生成的目标集 \(S\)，再考虑基本同构判定（旋转同构等）生成的置换群 \(G\)，此时 \(S\) 的等价类个数 \(p\) 就是魔方状态个数。

而 Burnside 引理给出了等价类个数 \(p\) 的一个计数方式（更进一步的优化由 Polya 定理完成）：

\[p=\frac{1}{|G|}\sum _{i=1}^n |G_i| \]

即等价类个数等于不动点个数之和除以置换群大小。

以下给出一个证明：

首先说明 \(G_k\) 不为空，因为 \(G\) 的单位元一定在\(G_k\) 中。

将元素 \(k\) 通过 \(G\) 的所有置换能到达的位置的集合称为 \(E_k\) 。对于 \(E_k\) 中的某一个非 \(k\) 元素 \(j\) ，存在一个置换 \(h\) 使得 \(h\) 将 \(k\) 变为 \(j\) 。

对 \(G_k\) 中任意两不同置换 \(g_1,g_2\) ， \(h*g_1\) 与 \(h*g_2\) 不同，否则 \(g_1=h^{-1}*(h*g_1)=h^{-1}*(h*g_2)=g_2\) ，矛盾。由此我们构造得到 \(|G_k|\) 个将 \(k\) 变换为 \(j\) 的置换。

同时，对任一将 \(k\) 变至 \(j\) 的置换 \(h'\)，由定义 \(h^{-1}*h'\) 必在 \(G_k\) 中，所以 \(h'=h*(h^{-1}*h')\) 必定是之前构造得到的置换。

于是我们得到有且仅有 \(|G_k|\) 个互不相同的置换将 \(k\) 变为 \(j\)。对 \(E_k\) 中每一个 \(j\) 都有此结论。而将 \(k\) 变换到 \(E_k\) 中任意元素的所有置换与 \(G\) 中所有置换一一对应，故 \(|G|=|E_k||G_k|\) （这被称为 轨道-稳定集引理）。

同时，我们将根据 \(E_k\) 是否相同表述出原有的 \(p\) 个等价类 \(C_1,C_2,\cdots,C_p\)，就有

\[\sum _{i=1}^n |G_i|=\sum_{i=1}^p |E_{C_i}||G_{C_i}|=p|G| \]

\[p=\frac{1}{|G|}\sum _{i=1}^n |G_i| \]

由此 Burnside 引理证毕。