随机变量指示器的简单应用

定义

设有样本空间 \(S\) ，定义其中一个事件 \(A\) 的 随机变量指示器（indicator random variable） \(I\{A\}\) 为

\[I\{A\}:= \begin{cases} 1 & \text{if A happens,} \\ 0& \text{Otherwise.} \end{cases} \]

即，\(A\) 事件发生时为 1，不发生时为 0。

还是经典的拿抛硬币举例：定义事件 \(H\) 表示正面朝上，\(T\) 表示反面朝上。

定义 \(X_H\) 为 \(H\) 的随机变量指示器，则当正面朝上时，\(X_H=1\)，否则 \(X_H=0\)。

正面朝上的概率，即 \(X_H\) 的期望，为 \(E[X_H]= 1 \cdot \Pr\{H\}+0 \cdot \Pr\{T\}=0.5\)。

对于样本空间 \(S\) 中的事件 \(A\in S\)，设 \(X_A=I\{A\}\)，则有 \(E[X_A]=\Pr\{A\}\)。

不难证明：只有 \(A\) 发生的时候才对期望有贡献。

那么，设有 \(X=\sum_{i=1}^n X_i\)，则由期望的线性性得到 \(E[X]=E[\sum_{i=1}^nX_i]=\sum_{i=1}^nE[X_i]=\sum_{i=1}^n \Pr i\)。

这次拿投骰子举例：我们想求掷 \(n\) 次骰子得到的点数期望。

求出每一种点数情况的概率分布？费脑子。

定义 \(X_{i,j}\) 表示第 \(i\) 次掷得到 \(j\) 的随机变量指示器，则总点数 \(X=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^6j \cdot X_{i,j}\)。

那么

\[\begin{aligned} E[X]&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^6j\cdot E[X_{i,j}] \\ &=\sum_{j=1}^6 j \sum_{i=1}^n E[X_{i,j}] \\ &=\sum_{j=1}^6 j \sum_{i=1}^n \Pr\{第 i 次出现点数 j\} \\ &=\sum_{j=1}^6 j \sum_{i=1}^n\frac{1}{6} \\ &=\sum_{j=1}^6 \frac{jn}{6} =3.5 \times n \end{aligned} \]

可能写的有点复杂，本质是把期望的线性性用更形式化的语言表示了出来。

有一个很重要的一点：期望的线性性不要求事件相互独立！这可以帮助我们化简很多问题。

再比如，依次面试 \(n\) 个人，每个人的优秀程度随机，如果第 \(i\) 个人比前面所有人都优秀，则录用这个应聘者。无论是否录用，面试都继续。求录用总数的期望。

第 \(i\) 个人比前面的人都优秀的概率 \(\Pr i=\dfrac{1}{i}\)，由此推出

\[E[X]=\sum_{i=1}^nE[X_i]=\sum_{i=1}^n\Pr i=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}=H_n \]

应用

UVA12004 Bubble Sort

题目大意：求长度为 \(n\) 的排列的逆序数的期望。

定义 \(X_{i,j}\) 表示 \(i<j,a_i>a_j\) 的随机变量指示器（即 \(i,j\) 是一对逆序对），那么排列的逆序数即为 \(X=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nX_{i,j}\)。

\[\begin{aligned} E[X]&=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nE[X_{i,j}] \\ &=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n \Pr\{a_i>a_j\} \\ &= \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n \frac{1}{2} \\ &= \frac{n(n-1)}{4} \end{aligned} \]

CF280C Game on Tree

题目大意：给定一棵树，每次操作随机删除一个（未被删除的）节点的子树（包括自己），求期望操作多少次。

定义 \(X_u\) 表示 \(u\) 的子树被删除（或者称 \(u\) 被选中）的随机变量指示器。则期望操作次数为 \(X=\sum_{u=1}^nX_u\)。

一个节点 \(u\) 当且仅当它被选中前，没有祖先被选中，它才能被删除。因此一个点被选中的概率就是 \(\dfrac{1}{d_u}\)，其中 \(d_u\) 表示 \(u\) 节点的深度（1 开始）。

那么，直接得出结果

\[E[X]=\sum_{i=1}^nE[X_i]=\sum_{i=1}^n \Pr i= \sum_{i=1}^n \frac{1}{d_i} \]