狄利克雷卷积

定义

狄利克雷卷积是一些算法的基础。很多时候使用狄利克雷卷积来推式子会比暴力推方便很多。

狄利克雷卷积其实就是定义在数论函数之间的一种二元运算：

\[(f \cdot g)(n)=\sum_{d|n} f(d)\cdot g(\dfrac{n}{d}) \]

我们首先定义一些常用的数论函数：

• 单位函数（单位元）\(\epsilon(n)= \begin{cases}1&n=1 \\ 0&n \neq 1 \end{cases}\)

• 幂函数\(\operatorname{Id}_k(n) = n^k\)，当\(k=0\)时为常数函数\(\operatorname{I}(n)=1\)

• 除数函数\(\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k\)，当\(k=0\)时为约数个数函数\(\operatorname{d}(n)\)，\(k=1\)时为约数和函数\(\sigma(n)\)。

• 欧拉函数\(\varphi(n)=\sum_{gcd(i,n)=1,\, i \leqslant n} 1\)

• 莫比乌斯函数\(\mu(n)=\begin{cases} 1&n=1 \\ {-1}^m&n=p_1p_2 \cdot\cdot\cdot p_m \\ 0& \rm{otherwise} \end{cases}\)